Soluzioni
  • Ciao Satiro arrivo (sto diventando il tuo incubo peggiore xD)

    Risposta di Ifrit
  • Ok iniziamo la dimostrazione che è praticamente la stessa che conosco io :P:

    Prima un po' di definizioni:

    Diciamo che f è una funzione crescente in un intervallo [a, b] se e solo se 

    \forall x,y\in [a, b]\mbox{ con }\,\, x\le y\implies f(x)\le f(y)

    Comincio col commentare la dimostrazione:

    Se f\mbox{ è crescente }\implies f'(x)\ge 0\quad x\in (a, b)

    Dalle ipotesi sappiamo che la funzione è crescente, questo vuol dire che presi 

    x,z \in (a, b)  si ha che:

    \frac{f(z)-f(x)}{z-x}\ge 0

    Infatti, supposto che 

    x>z\implies f(x)\ge f(z) 

    per definizione di funzione crescente. Da ciò segue che:

    f(z)-f(x)\le 0

    così come:

    z-x<0 

    Di conseguenza il rapporto:

    \frac{f(z)-f(x)}{z-x}\ge 0

    perché quoziente di quantità concordi (hanno lo stesso segno sia il numeratore che il denominatore)

     

    Similmente se x<z si ha che f(x)≤f(z)

    Da questo segue che:

    f(z)-f(x)\ge 0

    così come

    z-x>0

    Quindi il quoziente:

    \frac{f(z)-f(x)}{z-x}\ge 0

    perché quoziente di quantità concordi.

    Quando z\to x si ha che:

    \lim_{z\to x}\frac{f(z)-f(x)}{z-x}:= f'(x)\quad x\in(a, b)

    (è la definizione di derivata nel punto x, è il limite del rapporto incrementale centrato in x)

    Tale limite è non negativo per il teorema della permanenza del segno ( che ti invito a rivedere :P )di conseguenza abbiamo che:

    \lim_{z\to x}\frac{f(z)-f(x)}{z-x}\ge 0\implies f'(x)\ge 0

    Questo dimostra che se la funzione è crescente e derivabile allora si ha che la derivata prima è non negativa in (a, b).

    Adesso dimostriamo il ritorno:

    Per ipotesi sappiamo che f'(x)\ge 0\quad x\in (a, b) dobbiamo mostrare che la nostra funzione è crescente.

    Prendiamo x_1, x_2\in (a,b)\mbox{ con }x_1<x_2, consideriamo l'intervallo:

    [x_1, x_2] e osserviamo che la funzione soddisfa tutte le pretese del teorema di Lagrange, dunque esiste un punto c che appartiene a (x_1, x_2)

    per cui vale:

    \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}= f'(c)

    (è la tesi del teorema di lagrange)

    Noi sappiamo che

    f'(c)\ge 0 

    (perché c appartiene all'intervallo (a, b) in cui per ipotesi la derivata prima è maggiore o uguale a zero)

    di conseguenza:

    \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}= f'(c)\ge 0

    e dunque:

    \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\ge 0

    Il denominatore è sempre positivo, quindi moltiplicando membro a membro per 

    x_2-x_1

    non invertiamo il verso della disuguaglianza:

    f(x_2)-f(x_1)\ge 0

    Ma questo implica che:

    f(x_2)\ge f(x_1)

    Abbiamo quindi dimostrato che:

    x_1, x_2\in (a,b)\mbox{ con }x_1<x_2\implies f(x_1)\le f(x_2)

    cioè la funzione è crescente!

    Risposta di Ifrit
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