Soluzioni
  • Ciao Alessia.30 arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Guarda, io procederei in questo modo:

    \ln(1+3|x|^3)\sim_0 3|x|^3

    mentre

    \arctan(x^2+y^2)\sim_{(0,0)}x^2+y^2

    Il limite si riscrive come:

    \lim_{(x, y)\to (0, 0)}\frac{3|x|^3-x^2-y^2}{x^2+y^2}=

    \lim_{(x, y)\to (0, 0)}\frac{3|x|^3}{x^2+y^2}-1

    Ponendo:

    x= r \cos(t)

    e

    y= r\sin(t)

    il limite precedente è:

    \lim_{r\to 0}3|r\cos(t)|^3-1= \lim_{r\to 0}3r^3|\cos(t)|^3-1= -1\quad \forall t\in [0, 2\pi]

    Quindi il limite non solo esiste, vale proprio -1

    Risposta di Ifrit
  • mmm ok grazie mille!! Quindi nel modo in cui l'avevo fatto io non potevo dedurre niente? Solo una cosa...perchè log(1+3|x|3) lo approssimi a 3|x|3?

    Risposta di Alessia.30
  • Perché in prossimità dello zero la funzione:

    \ln(1+t)\sim_{0}t

    Nel nostro caso prendendo

    t=3|x|^3

    ottieni:

    \ln(1+3|x|^3)\sim_{0}3|x|^3

    E' la stima asintotica del logaritmo. Il problema è che non mi è chiaro il modo in cui hai fatto tu. A quanto ho capito hai maggiorato la funzione con un'altra...ma non con quale :s

    Fammi vedere i tuoi passaggi :D

    Risposta di Ifrit
  • Allora, ho posto la funzione in valore assoluto, quindi a sinistra è >=0, a destra ho maggiorato il numeratore con la disuguaglianza triangolare, e poi ho sfruttato le disuguaglianze note |logx|<=|x| e |arctgx|<=|x|, quindi:

    0 <= [ |log(1+3|x|3) - arctg(x2+y2)| ] / (x2+y2)  <=  [ |log(1+3|x|3)| + |arctg(x2+y2)| ] / (x2+y2)  <=  ( |1+3|x|3| + x2+y2 ) / (x2+y2)  = |1+3|x|3| / (x2+y2)   + 1 -----> +inf dato che |x| <= (x2+y2)1/2

    Cosa ne deduco? XD

    Risposta di Alessia.30
  • La catena di disuguaglianze che proponi è corretta, ma c'è solo un piccolissimo problem :) 

    La maggiorazione è troppo "larga" :P (nel senso che maggiora la funzione di partenza, ma non ci permette di giungere a conclusione)

    Proviamo in questo modo:

    \ln(1+|t|)\le |t|\quad t\in \mathbb{R}

    Di conseguenza:


    0\le \frac{|\ln(1+3|x|^3)-\arctan(x^2+y^2)|}{x^2+y^2}\le \frac{3|x|^3+x^2+y^2}{x^2+y^2}= \frac{3|x|^3}{x^2+y^2}+1

    A questo punto passando ai limiti otterrai che:

    0\le\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\ln(1+3|x|^3)-\arctan(x^2+y^2)|}{x^2+y^2}\le 1

    Ma questo non ci assicura l'esistenza del limite. Ci dice semplicemente che è se esiste esso è finito. A me pare che l'esercizio sia stato costruito proprio per utilizzare le stime asintotiche :)

    Risposta di Ifrit
  • Ok, sei stato chiarissimo!! Grazie mille, anche per la pazienza!!! :)

    Risposta di Alessia.30
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