Soluzioni
  • iao rori arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Ok, prima di tutto calcoliamo l'area dell'insieme D

    \mbox{Area}(D )= \int_1^2\int_0^{\frac{2(x-1)}{\sqrt{x}}}dy dx=\int_1^2 \frac{2(x-1)}{\sqrt{x}}dx= \frac{4}{3}(2-\sqrt{2})

    Ora calcoliamo l'ordinata del baricentro con la seguente espressione:

    y_G= \frac{\int_D y dydx}{\int_D dydx}=

    = \frac{\int_1^2 \int_0^{\frac{2(x-1)}{\sqrt{x}}} y dy dx}{\frac{4}{3}(2-\sqrt{2})}=\frac{\ln(4)-1}{\frac{4}{3}(2-\sqrt{2})}

     

    Dunque per le formule del volume di rotazione abbiamo che:

    \mbox{Vol}(D )= 2\pi y_G \mbox{Area}(D) =

    =2\pi \frac{\ln(4)-1}{\frac{4}{3}(2-\sqrt{2})}\cdot \frac{4}{3}(2-\sqrt{2})

     

    Semplificando avrai:

    =2\pi (\ln(4)-1)

    Ora \ln(4)=2\ln(2) quindi

    =4\pi \ln(2)-2\pi

     

    Se proprio vuoi ottenere lo stesso risultato metti in evidenza 4\pi

    4\pi\left(\ln(2)-\frac{1}{2}\right)

     

    Io conosco questo modo per calcolare il volume di un solido di rotazione... Quale altro proponi? (comunque dovresti ottenere lo stesso risultato, il volume di un solido non può cambiare in base al procedimento :P)

     

    PS: Se hai domande su questo metodo sono qui :P 

    Risposta di Ifrit
  • ho ancora un problemino..l'integrale quando vai a calcolare l'ordinata del baricentro non mi esce \ln(4) -1..ti posso chiedere se mi potresti far vedere i passaggini solo dell'integrale?

    grazie

    conosco questo metodo come metodo dell'area e poi c'è un'altro metodo del volume dove si svolge V=2\pi \int\int_{D}xdxdy, o almeno il libro di esercizi mette questi due.

    Risposta di rori
  • In pratica hai:

    \int_0^{\frac{2(x-1)}{\sqrt{x}}}y dy=

    \left[\frac{y^2}{2}\right]_0^{\frac{2(x-1)}{\sqrt{x}}}= 

    =\frac{\frac{4(x-1)^2}{x}}{2}= \frac{2(x-1)^2}{x}= -4+\frac{2}{x}+2x

    A questo punto integrando questo risultato rispetto ad x avrai:

    \int_1^2 2x+\frac{2}{x}-4=

    \left[\frac{2x^2}{2}+2\ln|x|-4x\right]_1^2=

    \left[x^2+2\ln|x|-4x\right]_1^2= 4+2\ln|2|-8-1+4= 2\ln(2)-1

     

    Per la seconda domanda... Dipende dalle definizioni che conosci :\ mi trovo un po' in difficoltà al momento :(

    Risposta di Ifrit
  • grazie Laughing...di definizioni non so molto, so solo che ci sono queste due formule e tra gli appunti non ho molto altro, su un'altro libro di esercizi c'è solo la formula V(E)=\pi \int_{\alpha}^{\beta}f^{2}(z)dz..comunque non ti preoccupare intanto una cosa è risolta ed è già tantissimo Laughing

     

    Risposta di rori
  • Rori, ti prego di scusarmi per il ritardo nella risposta, ma avevo delle domande arretrate x|

    La formula che proponi va benissimo (in questa D&R trovi le formule per i volumi dei solidi di rotazione), solo che è necessario capire dal problema qual è la funzione f

    In questo caso credo che possiamo prendere come funzione:

    f(x)= \frac{2(x-1)}{\sqrt{x}} 

    conseguentemente:

    V= \pi \int_1^2 \frac{4(x-1)^2}{x}dx=4\pi \left(\ln(2)-\frac{1}{2}\right)

    Ottieni cioè lo stesso risultato. :)

    Risposta di Ifrit
 
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