Soluzioni
  • Ciao Matilde :)

    Due o più figure piane si dicono isoperimetriche se hanno lo stesso perimetro. Chiarito questo iniziamo col disegnarci una trapezio isoscele, un quadrato ed un parallelogramma:

     

    trapezio isoscele, quadrato e parallelogramma

     

    Scriviamoci i dati del problema riguardanti il trapezio isoscele:

    AB+CD=28 \ \mbox{cm}

    AB-CD=4 \ \mbox{cm}

    AD=\frac{5}{8}AB

    Conoscendo sia la somma che la differenza delle due basi possiamo procedere, per trovarne la misura, o come nei problemi sui segmenti con somma e differenza o sfruttando le equazioni. Vediamoli entrambi.

    Iniziamo col disegnarci due segmenti. Uno più lungo per la base maggiore ed uno più piccolo per la base minore. Ricaviamo inoltre graficamente la loro differenza e riportiamoci i dati:

     

    somma e differenza basi del trapezio

     

    Abbiamo quindi:

    CD=(28-4):2=24:2=12 \ \mbox{cm}

    AB=CD+4=12+4=16 \ \mbox{cm}

    Volendo invece sfruttare le equazioni, uno volta scritte le due relazioni

    AB+CD=28 \ \mbox{cm}

    AB-CD=4 \ \mbox{cm}

    dalla seconda si ha

    AB=CD+4 \ \mbox{cm}

    che sostituita nella prima ci darà l'equazione di primo grado:

    \underbrace{CD+4}_{AB}+CD=28

    2CD=24

    CD= 12 \ \mbox{cm}

    Da cui

    AB=CD+4=12+4=16 \ \mbox{cm}

    Come puoi vedere otteniamo gli stessi identici risultati.

    Possiamo ora trovare la misura del lato obliquo del trapezio isoscele:

    AD=\frac{5}{8}AB = \frac{5}{8} \cdot 16 = 10 \ \mbox{cm}

    e quindi il suo del perimetro

    2p(ABCD)=AB+CD+2AD=16+12+20=48 \ \mbox{cm}

    Ora, poiché il perimetro del trapezio è uguale a quello del quadrato, si ha:

    4\cdot EF = 48 \ \mbox{cm}

    cioè

    EF=48:4={\color{red}12 \ \mbox{cm}}

    Ancora, poiché anche il perimetro del parallelogramma è uguale a quello del trapezio

    2p(GHLM)=2(GH+GM)=48 \ \mbox{cm} \ \to \ GH+GM=24 \ \mbox{cm}

    Il testo del problema ci dice inoltre che

    GH-GM=6 \ \mbox{cm}

    Ricadiamo quindi, ancora una volta, in un problema con i segmenti note somma e differenza. Facciamoci quindi il solito disegnino

     

    problema coi i segmenti sui lati del parallelogramma

     

    grazie al quale possiamo concludere che

    GM=(24-6):2=18:2 = {\color{red}9 \ \mbox{cm}}

    GH=GM+6 = 9+6= {\color{red}15 \ \mbox{cm}}

    Lascio a te il compito, se vuoi, di utilizzare le equazioni per trovare la misura dei due lati del parallelogramma ;)

    Risposta di Omega
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