Equazione parabola con due punti e retta tangente

Question

Come si risolve un esercizio sull'equazione della parabola con due punti di passaggio e una retta tangente? Scrivere l'equazione della parabola y = ax^2+bx+c passante per i punti (0;-2); (1;0) e tangente alla retta x-y-1 = 0. Io ho imposto il passaggio dei punti sulla parabola, ho trovato i coefficienti a,b,c e poi quello che mi è venuto l'ho messo a sistema con la retta, ma non mi trovo con il risultato, magari ho sbagliato procedimento. Grazie! :)

Fulvio Sbranchella · Accepted Answer

Tutto quello che abbiamo è dato dall'equazione della parabola in forma generica (click per tutte le formule)

e tre condizioni. Tre condizioni per tre coefficienti incogniti: abbiamo tutto quello che ci serve.

1) Imponiamo il passaggio per il punto , cosicché dobbiamo richiedere che le coordinate di tale punto soddisfino l'equazione della parabola

2) Poi imponiamo il passaggio per il punto , come sopra (e sfruttiamo già l'informazione che abbiamo sul coefficiente )

da cui .

3) L'equazione della parabola è, a questo punto

e sappiamo che tale parabola deve essere tangente alla retta .

Mettiamo a sistema le due equazioni

y = (2-b)x^2+bx-2 ; x-y-1 = 0

Scriviamo l'equazione della retta in forma esplicita e procediamo per sostituzione nella prima equazione

y = (2-b)x^2+bx-2 ; y = x-1

Ne ricaviamo un'equazione di secondo grado

La condizione di tangenza tra due curve si esprime mediante l'annullamento del discriminante (delta), il che geometricamente significa che le due curve si intersecano in due punti che coincidono, vale a dire: si intersecano necessariamente nel punto di tangenza.

Nota che il delta dipende dal coefficiente , cosicché la condizione di annullamento ci fornirà un'equazione in

Calcoliamo il delta e poniamolo uguale a zero

Questa equazione ammette come unica soluzione , per cui abbiamo tutti i coefficienti che individuano univocamente la parabola

c = -2 ; a = 2-b ; b = 3 → c = -2 ; a = -1 ; b = 3

Sostituendo il tutto nella generica equazione della parabola scopriamo che la parabola cercata è

Per chiudere ti rimando al tool per disegnare i luoghi geometrici online, grazie al quale puoi verificare i risultati dei tuoi esercizi. ;)

Namasté!