Soluzioni
  • Tutto quello che abbiamo è dato dall'equazione della parabola in forma generica (click per tutte le formule)

    y=ax^2+bx+c

    e tre condizioni. Tre condizioni per tre coefficienti incogniti: abbiamo tutto quello che ci serve.

    1) Imponiamo il passaggio per il punto (0,-2), cosicché dobbiamo richiedere che le coordinate di tale punto soddisfino l'equazione della parabola

    -2=0+0+c\to c=-2

    2) Poi imponiamo il passaggio per il punto (1,0), come sopra (e sfruttiamo già l'informazione che abbiamo sul coefficiente c)

    0=a+b-2

    da cui a=2-b.

    3) L'equazione della parabola è, a questo punto

    y=(2-b)x^2+bx-2

    e sappiamo che tale parabola deve essere tangente alla retta x-y-1=0.

    Mettiamo a sistema le due equazioni

    \begin{cases}y=(2-b)x^2+bx-2\\ x-y-1=0\end{cases}

    Scriviamo l'equazione della retta in forma esplicita e procediamo per sostituzione nella prima equazione

    \begin{cases}y=(2-b)x^2+bx-2\\ y=x-1\end{cases}

    Ne ricaviamo un'equazione di secondo grado

    x-1=(2-b)x^2+bx-2

    La condizione di tangenza tra due curve si esprime mediante l'annullamento del discriminante (delta), il che geometricamente significa che le due curve si intersecano in due punti che coincidono, vale a dire: si intersecano necessariamente nel punto di tangenza.

    Nota che il delta dipende dal coefficiente b, cosicché la condizione di annullamento ci fornirà un'equazione in b

    (2-b)x^2+(b-1)x-1=0

    Calcoliamo il delta e poniamolo uguale a zero

    (b-1)^2-4(2-b)(-1)=0

    Questa equazione ammette come unica soluzione b=3, per cui abbiamo tutti i coefficienti che individuano univocamente la parabola

    \begin{cases}c=-2\\ a=2-b\\ b=3\end{cases}\ \to\ \begin{cases}c=-2\\ a=-1\\ b=3\end{cases}

    Sostituendo il tutto nella generica equazione della parabola y=ax^2+bx+c scopriamo che la parabola cercata è

    y=-x^2+3x-2

    Per chiudere ti rimando al tool per disegnare i luoghi geometrici online, grazie al quale puoi verificare i risultati dei tuoi esercizi. ;)

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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