Soluzioni
  • Vediamo come risolvere l'esercizio: sarà una buona occasione per proporti un ripasso degli argomenti che già conosci e consolidarli, prima di arrivare al succo della questione.

    Vogliamo determinare i massimi e minimi della funzione a due variabili

    f(x,y)=x^3y+x^3-x^2y

    e per farlo cominciamo calcolando il gradiente della funzione, vale a dire il vettore delle derivate parziali

    \\ f_x(x,y)=3x^2y+3x^2-2xy\\ \\ f_y(x,y)=x^3-x^2

    A noi interessano i punti stazionari, vale a dire i punti che annullano il gradiente della funzione. A tal proposito risolviamo il sistema

    \begin{cases}3x^2y+3x^2-2xy=0\\ x^3-x^2=0\end{cases}

    Soffermiamoci sulla seconda equazione ed effettuiamo un raccoglimento totale, per poi applicare la legge di annullamento del prodotto

    \begin{cases}3x^2y+3x^2-2xy=0\\ x^2(x-1)=0\ \to\ x=0\ \vee\ x=1\end{cases}

    Passiamo così a due sistemi distinti di cui dobbiamo considerare l'unione delle soluzioni

    \begin{cases}3x^2y+3x^2-2xy=0\\ x=0\end{cases}\ \bigcup\ \begin{cases}3x^2y+3x^2-2xy=0\\ x=1\end{cases}

    da cui ricaviamo

    \begin{cases}0=0\\ x=0\end{cases}\ \bigcup\ \begin{cases}y=-3\\ x=1\end{cases}

    Abbiamo quindi un'infinità di punti stazionari: tutti quelli che giacciono sull'asse delle ordinate (0,y) ed il punto (1,-3).

    Passiamo al calcolo della matrice hessiana, per cui ci servono le derivate parziali seconde

    \\ f_{xx}(x,y)=6xy+6x-2y\\ \\ f_{xy}(x,y)=3x^2-2x\\ \\ f_{yx}(x,y)=3x^2-2x\\ \\ f_{yy}(x,y)=0

    da cui la matrice hessiana

    H_f(x,y)=\left[\begin{matrix}6xy+6x-2y & 3x^2-2x\\ 3x^2-2x & 0\end{matrix}\right]

    Per determinare la natura dei punti stazionari dobbiamo calcolare il determinante della valutazione della matrice hessiana in ciascuno dei punti stazionari

    det(H_f(1,-3))=det\left[\begin{matrix}-6 & 1\\ 1 & 0\end{matrix}\right]=-1

    e qui, in accordo con il metodo per i massimi e minimi in due variabili, concludiamo che (1,-3) è un punto di sella per la funzione.

    Proviamo a calcolare il determinante dell'hessiana (ossia l'hessiano) per un generico punto (0,y)

    det(H_f(0,y))=det\left[\begin{matrix}-2y & 0\\ 0 & 0\end{matrix}\right]=0

    e, come avevamo previsto, ci troviamo di fronte ad un'infinità di punti ad hessiano nullo.

     

    Ora, per non tirarla troppo per le lunghe, vediamo come procedere nel caso del punto (0,0) applicando il metodo delle rette per l'hessiano nullo.

    Premetto che non sono un grande fan di questo metodo, perché funziona solamente nel caso in cui il punto in questione è di sella; prediligo di gran lunga il metodo del segno. In ogni caso tutti i metodi di studio dei punti ad hessiano nullo sono spiegati nella lezione del link.

    L'idea prevede di considerare il fascio di rette passante per il punto incriminato

    y-y_0=m(x-x_0)

    con coefficiente angolare da trattare come un parametro. Nel nostro caso

    y=mx

    Consideriamo la restrizione della funzione lungo tali rette

    f(x,mx)=mx^4+x^3-mx^3

    L'obiettivo del metodo delle rette consiste, se possibile:

    - nell'individuare una retta lungo la quale la restrizione della funzione presenta in x=x_0=0 un punto che non è di massimo né di minimo;

    oppure

    - individuare due direzioni lungo cui il punto assume nature diverse (di minimo da una parte, di massimo dall'altra)

    Se ci riusciamo, possiamo concludere che il punto (x_0,y_0) è di sella per la funzione, perché esiste una restrizione lungo la quale quel punto non è né di massimo né di minimo per la funzione, oppure perché esistono due restrizioni che impediscono al punto di avere una specifica natura.

    Se malauguratamente dovesse risultare che il punto (x_0,y_0) è di massimo o di minimo lungo ogni retta, allora non potremmo concludere nulla perché le direzioni lineari non esauriscono tutte le possibili curve lungo le quali possiamo avvicendarci a (x_0,y_0).

    Per questo ho scritto che prediligo il metodo del segno, perché nel caso sia di semplice applicazione permette di arrivare ad una conclusione certa in un senso o nell'altro.

    Ad ogni modo, se consideriamo le restrizioni

    f(x,mx)=mx^4+x^3-mx^3

    vediamo che, scegliendo m=0, si ricava lungo la direzione dell'asse delle y

    f(x,0)=x^3

    Abbiamo così ricondotto lo studio ad un problema di massimi e minimi in una variabile e, senza fare alcun conto, sappiamo che x=0 non è né di massimo né di minimo per la restrizione f(x,0).

    Concludiamo così che il punto (0,0) è un punto di sella per f(x,y).

    Per gli altri punti... a te l'onore. ;)

    Risposta di Omega
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi