Soluzioni
  • Per determinare la retta che incide perpendicolarmente le rette r\ \mbox{e}\ s definite da

    \\ r:\ \begin{cases}x=-t\\ y=t\\ z=t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}\\ \\ \\ s:\ \begin{cases}2x+y-2=0 \\ x-z-2=0\end{cases}

    occorre innanzitutto considerare s e passare dalle equazioni cartesiane della retta alle parametriche.

    Dalla prima equazione isoliamo y al primo membro, dalla seconda isoliamo z

    \begin{cases}y=2-2x\\ z=x-2\end{cases}

    Eleggiamo a parametro libero x, ponendo x=u, e scriviamo la rappresentazione parametrica della retta s

    s:\ \begin{cases}x=u\\ y=2-2u\\ z=-2+u\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ u\in\mathbb{R}

    Associamo a ciascuna parametrizzazione il rispettivo vettore direttore:

    \\ \mathbf{v}_{r}=(l_{r},m_{r},n_{r})=(-1,1,1)\\ \\ \mathbf{v}_{s}=(l_{s},m_{s},n_{s})=(1,-2,1)

    dopodiché consideriamo un generico punto per r e uno per s

    \\ R(x_{R},y_{R},z_{R})=(-t,t,t)\in r \ \ \ \forall t\in\mathbb{R}\\ \\ S(x_{S},y_{S},z_{S})=(u,2-2u,-2+u)\in s \ \ \ \forall u\in\mathbb{R}

    e con essi costruiamo il vettore congiungente \mathbf{v}=\overrightarrow{RS}

    \\ \mathbf{v}=\overrightarrow{RS}=(x_{S}-x_{R},y_{S}-y_{R},z_{S}-z_{R})=\\ \\ =(t+u,2-t-2u,-2-t+u)

    Al variare di t e u il vettore \mathbf{v} individua la direzione della retta che congiunge i punti R\ \mbox{e}\ S: per fare in modo che questa incida perpendicolarmente r\ \mbox{e}\ s dobbiamo richiedere che \mathbf{v} sia perpendicolare ai vettori direttori delle rette.

    A questo proposito imponiamo che i prodotti scalari tra \mathbf{v} e i vettori \mathbf{v}_{r}\ \mbox{e}\ \mathbf{v}_{s} siano nulli

    \begin{cases}\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}_{r}=0\\ \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}_{s}=0\end{cases} 

    ottenendo così il sistema lineare nelle incognite t,u

    \begin{cases}-3t-2u=0\\ 2t+6u-6=0\end{cases}

    soddisfatto dalla coppia (t_0,u_0)=\left(-\frac{6}{7},\frac{9}{7}\right).

    Se sostituiamo t=-\frac{6}{7} e u=\frac{9}{7} nel vettore \mathbf{v} otteniamo il vettore direttore della retta incidente q:

    \mathbf{v}=\left(\frac{3}{7},\frac{2}{7},\frac{1}{7}\right)

    Ci manca solo un punto P per cui passa q: per ricavarlo è sufficiente sostituire t=-\frac{6}{7} nelle equazioni parametriche di r

    P(x_{P},y_{P},z_{P})=\left(\frac{6}{7},-\frac{6}{7},-\frac{6}{7}\right)

    Noti P e \mathbf{v}, l'equazione vettoriale di q è:

    q:\ \mathbf{x}=P+\mathbf{v}t \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

    vale a dire

    q:\ (x,y,z)=\left(\frac{6}{7},-\frac{6}{7},-\frac{6}{7}\right)+\left(\frac{3}{7},\frac{2}{7},\frac{1}{7}\right)t \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

    È fatta!

    Osserviamo che il vettore direttore di una retta è unico a meno di un coefficiente moltiplicativo: ciò vuol dire che se moltiplichiamo \mathbf{v} per 7 otteniamo un vettore parallelo alla retta q che può assumere il ruolo di vettore direzionale. Alla luce di queste considerazioni, un'altra rappresentazione di q è:

    q:\ (x,y,z)=\left(\frac{6}{7},-\frac{6}{7},-\frac{6}{7}\right)+\left(3,2,1\right)t \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

    Risposta di Ifrit
 
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