Circonferenza con centro e corda sull'asse x

Mi servirebbe sapere il metodo per trovare l'equazione di una circonferenza conoscendo il centro e la lunghezza di una corda che essa stacca sull'asse delle ascisse.

Testo: calcola l'equazione della circonferenza con centro (-1,4) e che stacca sull'asse x una corda di lunghezza uguale a 3.

Grazie in anticipo a chi mi risponderà!

Domanda di talpa
Soluzione

La generica equazione di una circonferenza di centro C = (x_0,y_0) e raggio r è data da

(x−x_0)^2+(y−y_0)^2 = r^2

(Suggerimento: in questi esercizi tornano molto utili le formule della circonferenza, conviene tenerle a portata di mano...)

Nel nostro caso abbiamo

(x+1)^2+(y−4)^2 = r^2

La condizione sulla corda staccata sull'asse delle ascisse ci fornirà il raggio di tale circonferenza, e quindi la individuerà in maniera univoca.

Per prima cosa individuiamo le coordinate dei punti di intersezione della circonferenza con l'asse, e per fare ciò mettiamo a sistema l'equazione della circonferenza con l'equazione dell'asse delle ascisse y = 0

(x+1)^2+(y−4)^2 = r^2 ; y = 0

Ne ricaviamo l'equazione di secondo grado

x^2+2x+17−r^2 = 0

Naturalmente le coordinate dei punti di intersezione dipendono dal raggio della circonferenza: con la formula del discriminante (delta) si ricava

x_(1,2) = (−2±√(4−4(17−r^2)))/(2)

Imponendo che la distanza tra i due punti di intersezione sia uguale a 3 otteniamo il valore del raggio: otteniamo infatti un'equazione in r

|x_1−x_2| = 3

Questa equazione equivale a due equazioni distinte, che risolviamo separatamente

x_1−x_2 = +3

cioè

(−2+√(4−4(17−r^2)))/(2)−(−2−√(4−4(17−r^2)))/(2) = 3

che, risolta, fornisce 

r^2 = (73)/(4)

cioè

r = ±(√(73))/(2)

l'unica soluzione accettabile è quella positiva, dato che parliamo della misura di un segmento

r = +(√(73))/(2)

Per quanto riguarda la seconda equazione

x_1−x_2 = −3

(−2+√(4−4(17−r^2)))/(2)−(−2−√(4−4(17−r^2)))/(2) = −3

non vi sono soluzioni (si riduce infatti a

√(r^2−16) = −(3)/(2)

che non ammette soluzioni).

In definitiva, la circonferenza cercata è

(x+1)^2+(y−4)^2 = (73)/(4)

Namasté!

Risposta di: Fulvio Sbranchella (Omega)
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