Soluzioni
  • La generica equazione di una circonferenza di centro C=(x_0,y_0) e raggio r è data da

    (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2

    (Suggerimento: in questi esercizi tornano molto utili le formule della circonferenza, conviene tenerle a portata di mano...)

    Nel nostro caso abbiamo

    (x+1)^2+(y-4)^2=r^2

    La condizione sulla corda staccata sull'asse delle ascisse ci fornirà il raggio di tale circonferenza, e quindi la individuerà in maniera univoca.

    Per prima cosa individuiamo le coordinate dei punti di intersezione della circonferenza con l'asse, e per fare ciò mettiamo a sistema l'equazione della circonferenza con l'equazione dell'asse delle ascisse y=0

    \left\{\begin{matrix}(x+1)^2+(y-4)^2=r^2\\ y=0\end{matrix}

    Ne ricaviamo l'equazione di secondo grado

    x^2+2x+17-r^2=0

    Naturalmente le coordinate dei punti di intersezione dipendono dal raggio della circonferenza: con la formula del discriminante (delta) si ricava

    x_{1,2}=\frac{-2\pm \sqrt{4-4(17-r^2)}}{2}

    Imponendo che la distanza tra i due punti di intersezione sia uguale a 3 otteniamo il valore del raggio: otteniamo infatti un'equazione in r

    |x_1-x_2|=3

    Questa equazione equivale a due equazioni distinte, che risolviamo separatamente

    x_1-x_2=+3

    cioè

    \frac{-2+ \sqrt{4-4(17-r^2)}}{2}-\frac{-2- \sqrt{4-4(17-r^2)}}{2}=3

    che, risolta, fornisce 

    r^2=\frac{73}{4}

    cioè

    r=\pm\frac{\sqrt{73}}{2}

    l'unica soluzione accettabile è quella positiva, dato che parliamo della misura di un segmento

    r=+\frac{\sqrt{73}}{2}

    Per quanto riguarda la seconda equazione

    x_1-x_2=-3

    \frac{-2+ \sqrt{4-4(17-r^2)}}{2}-\frac{-2- \sqrt{4-4(17-r^2)}}{2}=-3

    non vi sono soluzioni (si riduce infatti a

    \sqrt{r^2-16}=-\frac{3}{2}

    che non ammette soluzioni).

    In definitiva, la circonferenza cercata è

    (x+1)^2+(y-4)^2=\frac{73}{4}

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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