Equazioni esponenziali risolubili con i logaritmi?

Avrei bisogno di un chiarimento in merito a un'equazione esponenziale caratterizzata dal fatto che le esponenziali che compaiono hanno basi differenti. Potreste aiutarmi?

Calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione esponenziale

21^(x-1) = 15^(x)

Come posso fare? Grazie.

Domanda di piergigi
Soluzione

L'esercizio chiede di calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione esponenziale

21^(x-1) = 15^(x)

caratterizzata dalla presenza di esponenziali con basi differenti. Per poterla risolvere, possiamo avvalerci delle proprietà delle potenze mediante le quali l'equazione

(21^(x))/(21) = 15^x

Fatto ciò scomponiamo le basi come prodotto di fattori primi

((3·7)^x)/(21) = (3·5)^x

Applichiamo nuovamente le proprietà delle potenze, in particolare quella relativa al prodotto di potenze letta al rovescio, ricaviamo

(3^x·7^x)/(21) = 3^x·5^x

Dividiamo a questo punto entrambi i membri per 3^x (si può fare senza problemi, dato che è un termine positivo per qualsiasi valore di x)

(7^(x))/(21) = 5^(x)

A questo punto moltiplichiamo i due membri per 21

7^(x) = 21·5^x

dividiamo per 5^(x)

(7^(x))/(5^(x)) = 21

e, una volta applicata la proprietà relativa al rapporto di due potenze con lo stesso esponente, otteniamo l'equazione in forma normale

((7)/(5))^(x) = 21

Purtroppo non siamo in grado di esprimere in maniera elementare il secondo membro come una potenza di (7)/(5), ecco perché saremo costretti ad applicare il logaritmo in base (7)/(5)

log_((7)/(5))[((7)/(5))^(x)] = log_((7)/(5))(21)

ricavando così la soluzione

x = log_((7)/(5))(21)

Nota: è possibile esprimere la soluzione mediante un logaritmo in base 10; basta applicare la formula del cambiamento di base e semplificare il risultato con le proprietà dei logaritmi:

x = (log_(10)(21))/(log_(10)((7)/(5))) = (log_(10)(7·3))/(log_(10)(7)-log_(10)(5)) = (log_(10)(7)+log_(10)(3))/(log_(10)(7)-log_(10)(5))

Concludiamo che l'equazione esponenziale

21^(x-1) = 15^(x)

è soddisfatta per

x = (log_(10)(7)+log_(10)(3))/(log_(10)(7)-log_(10)(5))

Abbiamo terminato.

Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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