Soluzioni
  • L'esercizio chiede di calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione esponenziale

    21^{x-1}=15^{x}

    caratterizzata dalla presenza di esponenziali con basi differenti. Per poterla risolvere, possiamo avvalerci delle proprietà delle potenze mediante le quali l'equazione

    \frac{21^{x}}{21}=15^x

    Fatto ciò scomponiamo le basi come prodotto di fattori primi

    \frac{(3\cdot 7)^x}{21}=(3\cdot 5)^x

    Applichiamo nuovamente le proprietà delle potenze, in particolare quella relativa al prodotto di potenze letta al rovescio, ricaviamo

    \frac{3^x\cdot 7^x}{21}=3^x\cdot 5^x

    Dividiamo a questo punto entrambi i membri per 3^x (si può fare senza problemi, dato che è un termine positivo per qualsiasi valore di x)

    \frac{7^{x}}{21}=5^{x}

    A questo punto moltiplichiamo i due membri per 21

    7^{x}=21\cdot 5^x

    dividiamo per 5^{x}

    \frac{7^{x}}{5^{x}}=21

    e, una volta applicata la proprietà relativa al rapporto di due potenze con lo stesso esponente, otteniamo l'equazione in forma normale

    \left(\frac{7}{5}\right)^{x}=21

    Purtroppo non siamo in grado di esprimere in maniera elementare il secondo membro come una potenza di \frac{7}{5}, ecco perché saremo costretti ad applicare il logaritmo in base \frac{7}{5}

    \log_{\frac{7}{5}}\left[\left(\frac{7}{5}\right)^{x}\right]=\log_{\frac{7}{5}}(21)

    ricavando così la soluzione

    x=\log_{\frac{7}{5}}(21)

    Nota: è possibile esprimere la soluzione mediante un logaritmo in base 10; basta applicare la formula del cambiamento di base e semplificare il risultato con le proprietà dei logaritmi:

    \\ x=\frac{\log_{10}(21)}{\log_{10}\left(\frac{7}{5}\right)}=\frac{\log_{10}(7\cdot 3)}{\log_{10}(7)-\log_{10}(5)}= \\ \\ \\ =\frac{\log_{10}(7)+\log_{10}(3)}{\log_{10}(7)-\log_{10}(5)}

    Concludiamo che l'equazione esponenziale

    21^{x-1}=15^{x}

    è soddisfatta per

    x=\frac{\log_{10}(7)+\log_{10}(3)}{\log_{10}(7)-\log_{10}(5)}

    Abbiamo terminato.

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Scuole Superiori - Algebra