Asintoti di una funzione irrazionale fratta

Consideriamo la funzione irrazionale

e determiniamone il dominio richiedendo che:

- il radicando sia non negativo, affinché la radice con indice pari sia ben definita;

- il denominatore sia diverso da 0, affinché la frazione algebrica sia ben posta.

Il dominio della funzione è dunque l'insieme soluzione del sistema di disequazioni

Analizziamo la disequazione fratta

e studiamo separatamente il segno del numeratore e del denominatore

da cui scopriamo l'insieme soluzione della disequazione è

Prendiamo in esame la seconda equazione del sistema, risolviamola

e scriviamo l'insieme soluzione che è

Intersecando le soluzioni parziali, scopriamo che il dominio è dato dall'intervallo

Per determinare gli eventuali asintoti, impostiamo il limite per che tende al punto di accumulazione non appartenente al dominio, ossia a -1 e calcoliamolo mediante l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi

Poiché il limite non è finito concludiamo che la retta di equazione è un asintoto verticale per .

Attenzione, né né sono punti di accumulazione per il dominio, di conseguenza non ha senso il calcolo dei limiti

Proprio per tale motivo, non ammette né asintoti orizzontali né asintoti obliqui. Infine, ma non meno importante, riteniamo utile spiegare il perché non abbiamo calcolato il limite per . La continuità della funzione sull'intero dominio garantisce l'uguaglianza

pertanto non è possibile che vi sia un asintoto verticale di equazione .