Soluzioni
  • Consideriamo la funzione irrazionale

    f(x)=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}

    e determiniamone il dominio richiedendo che:

    - il radicando sia non negativo, affinché la radice con indice pari sia ben definita;

    - il denominatore sia diverso da 0, affinché la frazione algebrica sia ben posta.

    Il dominio della funzione è dunque l'insieme soluzione del sistema di disequazioni

    \begin{cases}\frac{1-x}{1+x}\ge0 \\ 1+x\ne 0\end{cases}

    Analizziamo la disequazione fratta

    \frac{1-x}{1+x}\ge0

    e studiamo separatamente il segno del numeratore e del denominatore

    \\ N\ge0\to 1-x\ge0\to -x\ge-1\to x\le1 \\ \\ D>0\to 1+x>0\to x>-1

    da cui scopriamo l'insieme soluzione della disequazione è

    S_1\ :\ -1<x\le1

    Prendiamo in esame la seconda equazione del sistema, risolviamola

    1+x\ne0\to x\ne -1

    e scriviamo l'insieme soluzione che è

    S_{2}\ : \ x\ne -1

    Intersecando le soluzioni parziali, scopriamo che il dominio è dato dall'intervallo

    Dom(f)=(-1,1]

    Per determinare gli eventuali asintoti, impostiamo il limite per x che tende al punto di accumulazione non appartenente al dominio, ossia a -1 e calcoliamolo mediante l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi

    \lim_{x\to-1}f(x)=\lim_{x\to-1^{+}}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}=\left[\frac{2}{0^{+}}\right]=+\infty

    Poiché il limite non è finito concludiamo che la retta di equazione x=1 è un asintoto verticale per f(x).

    Attenzione, né +\infty-\infty sono punti di accumulazione per il dominio, di conseguenza non ha senso il calcolo dei limiti

    \lim_{x\to-\infty}f(x) \ \ \ \mbox{e} \ \ \ \lim_{x\to+\infty}f(x)

    Proprio per tale motivo, f(x) non ammette né asintoti orizzontali né asintoti obliqui. Infine, ma non meno importante, riteniamo utile spiegare il perché non abbiamo calcolato il limite per x\to1. La continuità della funzione sull'intero dominio garantisce l'uguaglianza

    \lim_{x\to1}f(x)=f(1)=0

    pertanto non è possibile che vi sia un asintoto verticale di equazione x=1.

    Risposta di Ifrit
 
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