Soluzioni
  • Consideriamo la funzione fratta

    f(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}-1}

    e determiniamone il dominio. La funzione presenta un denominatore il quale deve essere diverso da 0: impostiamo dunque la condizione

    e^{x}-1\ne0\implies e^{x}\ne1\implies x\ne0

    Il dominio è dunque

    Dom(f)=\left\{x\in\mathbb{R} \ : \ x\ne0\right\}=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)

    ossia è unione di due intervalli illimitati e disgiunti. Per determinare gli asintoti calcoleremo almeno quattro limiti

    \\ \lim_{x\to-\infty}f(x) \ \ \ ; \ \ \ \lim_{x\to0^{-}}f(x) \\ \\ \lim_{x\to0^{+}}f(x) \ \ \ ; \ \ \ \lim_{x\to+\infty}f(x)

    cominciando dal primo della lista. Il limite per x\to-\infty non genera alcuna forma indeterminata e può essere calcolato sfruttando l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi e tenendo conto del comportamento della funzione esponenziale quando il proprio esponente tende a -\infty:

    \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{e^{x}}{e^{x}-1}=0

    Dal risultato del limite deduciamo che f(x) ammette un asintoto orizzontale sinistro di equazione

    y=0

    Analizziamo i limiti destro e sinistro per x\to0

    \lim_{x\to0^{-}}f(x)=\lim_{x\to0^{-}}\frac{e^{x}}{e^{x}-1}=

    Quando x\to0 per valori negativi, e^{x} tende ad 1 per valori più piccoli di 1 e, in accordo con l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi concludiamo che il limite sinistro è -\infty

    =\left[\frac{1}{1^{-}-1}\right]=\left[\frac{1}{0^{-}}\right]=-\infty

    Già tale risultato è sufficiente per asserire che la retta di equazione

    x=0

    è un asintoto verticale sinistro per f(x).

    Calcoliamo il limite destro per x\to0

    \lim_{x\to0^{+}}f(x)=\lim_{x\to0^{+}}\frac{e^{x}}{e^{x}-1}=

    In questo caso, quando x\to0^{+}, il termine esponenziale tende a 1 per valori maggiori di 1 e in accordo con l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi concludiamo che il limite destro è +\infty

    =\left[\frac{1}{1^{+}-1}\right]=\left[\frac{1}{0^{+}}\right]=+\infty

    Dal risultato si evince che x=0 è anche l'equazione dell'asintoto verticale destro.

    Analizziamo l'ultimo limite, ossia

    \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}}{e^{x}-1}=

    il quale genera una forma indeterminata del tipo \left[\frac{\infty}{\infty}\right] che può essere sciolta trascurando le costanti additive e semplificando i termini esponenziali che rimangono

    =\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}}{e^{x}}=1

    Poiché il limite esiste ed è finito allora possiamo concludere che la retta di equazione

    y=1

    rappresenta l'asintoto orizzontale destro per f(x).

    In conclusione, f(x) ha

    - un asintoto orizzontale sinistro di equazione y=0;

    - un asintoto verticale bilatero di equazione x=0;

    - un asintoto orizzontale destro di equazione y=1.

    Fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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