Asintoti di una funzione fratta con esponenziali

Consideriamo la funzione fratta

e determiniamone il dominio. La funzione presenta un denominatore il quale deve essere diverso da 0: impostiamo dunque la condizione

Il dominio è dunque

ossia è unione di due intervalli illimitati e disgiunti. Per determinare gli asintoti calcoleremo almeno quattro limiti

cominciando dal primo della lista. Il limite per non genera alcuna forma indeterminata e può essere calcolato sfruttando l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi e tenendo conto del comportamento della funzione esponenziale quando il proprio esponente tende a :

Dal risultato del limite deduciamo che ammette un asintoto orizzontale sinistro di equazione

Analizziamo i limiti destro e sinistro per

Quando per valori negativi, tende ad 1 per valori più piccoli di 1 e, in accordo con l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi concludiamo che il limite sinistro è

Già tale risultato è sufficiente per asserire che la retta di equazione

è un asintoto verticale sinistro per .

Calcoliamo il limite destro per

In questo caso, quando , il termine esponenziale tende a 1 per valori maggiori di 1 e in accordo con l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi concludiamo che il limite destro è

Dal risultato si evince che è anche l'equazione dell'asintoto verticale destro.

Analizziamo l'ultimo limite, ossia

il quale genera una forma indeterminata del tipo che può essere sciolta trascurando le costanti additive e semplificando i termini esponenziali che rimangono

Poiché il limite esiste ed è finito allora possiamo concludere che la retta di equazione

rappresenta l'asintoto orizzontale destro per .

In conclusione, ha

- un asintoto orizzontale sinistro di equazione ;

- un asintoto verticale bilatero di equazione ;

- un asintoto orizzontale destro di equazione .

Fatto!