Semplificare un rapporto tra frazioni algebriche

Tra gli esercizi per domani, me n'è capitato uno in cui mi viene chiesto di semplificare il rapporto tra due frazioni algebriche. In pratica è una frazione di frazioni algebriche che non so come trattare. Come posso effettuare la semplificazione?

Supponendo noto l'insieme di esistenza, semplificare la seguente espressione con le frazioni algebriche

$\frac{\dfrac{2}{x-4}-\dfrac{7}{x+1}}{\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{4}{x-4}}$

Grazie.

Domanda di anna vicaretti

Soluzioni

L'esercizio ci sta chiedendo di svolgere l'espressione con le frazioni algebriche
$\frac{\dfrac{2}{x-4}-\dfrac{7}{x+1}}{\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{4}{x-4}}=$
Prima di procedere con i passaggi, osserviamo attentamente la sua struttura: si presenta come una frazione di frazioni algebriche, o meglio, è una frazione con al numeratore una differenza tra frazioni algebriche e al denominatore una somma.
Per poterla semplificare, è necessario innanzitutto eseguire le operazioni tra le frazioni algebriche. Esprimiamo a denominatore comune le frazioni al numeratore principale
$=\frac{\dfrac{2(x+1)-7(x-4)}{(x-4)(x+1)}}{\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{4}{x-4}}=$
Facciamo lo stesso al denominatore principale
$=\frac{\dfrac{2(x+1)-7(x-4)}{(x-4)(x+1)}}{\dfrac{(x-4)+4(x+1)}{(x+1)(x-4)}}=$
Svolgiamo il prodotto tra i binomi e i coefficienti che li precedono, usando all'occorrenza la regola dei segni
$=\frac{\dfrac{2x+2-7x+28}{(x-4)(x+1)}}{\dfrac{x-4+4x+4}{(x+1)(x-4)}}=$
e sommiamo opportunamente i monomi simili
$=\frac{\dfrac{-5x+30}{(x-4)(x+1)}}{\dfrac{5x}{(x+1)(x-4)}}=$
Per svolgere il quoziente tra le due frazioni algebriche, lo esprimiamo come prodotto tra il numeratore principale per il reciproco della frazione al denominatore principale
$=\frac{-5x+30}{(x-4)(x+1)}\cdot\frac{(x+1)(x-4)}{5x}=$
Semplifichiamo in croce i fattori $x-4\ \mbox{e} \ x+1$
$=(-5x+30)\cdot\frac{1}{5x}=$
mettiamo in evidenza 5 al numeratore del prima frazione, semplifichiamolo con il 5 a denominatore della seconda frazione
$\\ =5(-x+6)\cdot\frac{1}{5x}= \\ \\ \\ =\frac{-x+6}{x}$
Abbiamo finito!
Risposta di Ifrit

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