Soluzioni
  • Ciao 904, arrivo!

    Risposta di Omega
  • Non so da dove provenga la dimostrazione che hai postato, perché ci sono un po' di pasticci: ad ogni modo, vediamo di risolvere.

    Teorema:

    Data una funzione reale f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R} differenziabile su un aperto U\subseteq \mathbb{R}^n, e dati due punti x,y\in U tali per cui

    E:=\{tx+(1-t)y\mbox{ : }t\in [0,1]\}\subseteq U

    allora esiste un punto z\in E tale che

    f(y)-f(x)=<\nabla f(z), (y-x)>

    Dimostrazione:

    si considera la funzione ausiliaria

    g(t)=f(x+t(y-x)) con t\in [0,1]

    che è continua e differenziabile, in quanto composizione di funzioni continue e differenziabili. Questa funzione è una funzione reale di variabile reale [0,1]\to \mathbb{R}: possiamo applicare il teorema di Lagrange nel caso unidimensionale.

    Tale teorema garantisce l'esistenza di un punto s\in (0,1) tale per cui

    g'(s)=\frac{g(1)-g(0)}{1-0}

    Da una parte, se differenziamo la funzione g otteniamo

    g'(s)=<\nabla f(x+s(y-x)),(y-x)>

    ponendo z:=x+s(y-x) possiamo riscrivere la precedente relazione come

    g'(s)=<\nabla f(z),(y-x)>

    nota inoltre che z\in E.

    D'altra parte, valutando secondo la definizione di g

    g(1)-g(0)=f(y)-f(x)

    Ricomponendo la tesi del teorema di Lagrange unidimensionale, otteniamo

    f(y)-f(x)=<\nabla f(z),(y-x)>

    ossia la tesi del nostro teorema.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Ok ora riesco a capirlo meglio quindi mi rimane solo un dubbio Da una parte, se differenziamo la funzione g otteniamo

    questo qui come fai a differenziale la funzione g ?

    non c'è limite ai grazie per il vostro lavoro .

    Risposta di 904
  • Prego :)

    La derivata della funzione g si calcola con il teorema di derivazione della funzione composta in più variabili: essendo

    g=f(h(t))

    dove h(t)=x+t(y-x) è una funzione [0,1]\to\mathbb{R}^n, si tratta prima di tutto di derivare la funzione f, il che produce il gradiente di f. Successivamente si deriva la funzione h(t), la cui derivata è (y-x).

    Moltiplica scalarmente le due "derivate" (la prima è un gradiente) e ci sei.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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