Soluzioni
  • Per calcolare il limite

    \lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{1}{2x}\right)^{3x}

    useremo il limite notevole in forma generale associato al numero di Nepero

    \lim_{x\to qualcosa}\left(1+\frac{1}{f(x)}\right)^{f(x)}=e

    applicabile a patto che f(x)\to \infty al tendere di x\to qualcosa. Puoi approfondire leggendo la lezione su come si usano i limiti notevoli.

    Nel nostro caso dobbiamo prendere f(x)=2x, per cui al tendere di x\to \infty l'ipotesi di applicabilità del limite notevole è garantita. Il problema è che f(x) non compare all'esponente.

    Facciamolo saltare fuori: moltiplichiamo e dividiamo l'esponente per 2, cosicché l'uguaglianza è garantita, infatti è come se stessimo moltiplicando per 1.

    \\ \lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{1}{2x}\right)^{3x}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{1}{2x}\right)^{\tfrac{2}{2}\cdot 3x}=

    poi, per le proprietà delle potenze, possiamo riscrivere il limite nella forma

    =\lim_{x\to +\infty}\left[\left(1+\frac{1}{2x}\right)^{2x}\right]^{\tfrac{3}{2}}

    e dunque applicando il limite notevole del numero di Nepero concludiamo che il risultato è e^{\tfrac{3}{2}}

    \lim_{x\to +\infty}\left[\left(1+\frac{1}{2x}\right)^{2x}\right]^{\tfrac{3}{2}}=e^{\tfrac{3}{2}}

    Fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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