Soluzioni
  • Ciao mindy arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo la retta di equazione:

    y= -\frac{13}{4}

    e le coordinate del punto:

    F\left(-\frac{1}{4}, -3\right)

    Per parabola (click per definizione e formule) sappiamo che i punti 

    (x, y)

    sono equidistanti dalla retta direttrice e dal fuoco. Calcoliamo la distanza tra un punto generico (x, y) della parabola con il fuoco, e per farlo usiamo la formula per la distanza tra due punti

    d= \sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^2+(y+3)^2}

    Ora calcoliamo la distanza tra un punto generico (x, y) appartenente alla parabola e la retta direttrice:

    d_1=\left|y+\frac{13}{4}\right|

    A questo punto dobbiamo imporre che le due distanze siano coincidenti:

    d=d_1\iff \sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^2+(y+3)^2}=\left|y+\frac{13}{4}\right|

    Eleviamo al quadrato membro a membro, otterremo:

    \left(x+\frac{1}{4}\right)^2+(y+3)^2= \left(y+\frac{13}{4}\right)^2

    Sviluppiamo i conti:

    x^2+\frac{1}{16}+2\cdot\frac{1}{4}\cdot x+y^2+6x+9= y^2+\frac{13}{2}y+\frac{13^2}{4^2}

    Portiamo tutto al primo membro e sommiamo i termini simili: 

    \frac{2x^2+x-3-y}{2}=0

    Da cui otteniamo:

    y= 2x^2+x-3

    Che è l'equazione della parabola che stavamo cercando :)

    Ora troviamo i punti di intersezione tra l'asse X e la parabola, ciò equivale a risolvere l'equazione:

    2x^2+x-3=0

    Il discriminante è:

    \Delta=1+4\cdot 2\cdot 3= 25\implies \sqrt{\Delta}= 5

    Le soluzioni sono:

    x_1= \frac{-1-5}{4}= -\frac{6}{4}= -\frac{3}{2}

    Non è accettabile perché non è un punto del semiasse positivo.

    x_2= \frac{-1+5}{4}= 1

    Questo è accettabile.

    Sappiamo ora che dobbiamo costruire la retta passante per:

    F\left(-\frac{1}{4}, -3\right)

      e

    G(1, 0)

    Usiamo la formula canonica per la retta passante per due punti

    \frac{x-1}{-\frac{1}{4}-1}=\frac{y-0}{-3-0}

    Da cui otteniamo:

    \frac{x-1}{-\frac{5}{4}}= \frac{y}{-3}

    Quindi:

    -3(x-1)= -\frac{5}{4}y

    3(x-1)= \frac{5}{4}y

    L'equazione della retta è:

    y= \frac{4}{15}(x-1)

    Impostiamo il sistema per determinare il punto di intersezione:

    \begin{cases}y= 2x^2+x-3\\ y= \frac{4}{15}(x-1)\end{cases}

    Procediamo per sostituzione:

    \frac{4}{15}(x-1)=2x^2+x-3

    Espandiamo i conti:

    \frac{4}{15}x-\frac{4}{15}-2x^2-x+3=0

    Da cui

    -\frac{1}{15}(30x^2+11x-41)=0

    Risolviamo l'equazione:

    30x^2+11x-41=0

    \Delta= 121+4920= 5041\implies \sqrt{\Delta}= 71

    Le soluzioni sono:

    x_1= \frac{-11-71}{60}=-\frac{41}{30}

    x_2= \frac{-11+71}{60}= 1

    L'ascissa dell'altro punto di intersezione è 

    x_1= -\frac{41}{30}

    per ottenere l'ordinata è sufficiente sostituire ad x il valore x1 nella equazione della retta:

    y_1= \frac{4}{15}\left(-\frac{41}{30}-1\right)= -\frac{142}{225}

    Ricontrolla i conti :P

    Risposta di Ifrit
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