Parabola conoscendo il fuoco e la direttrice

Question

Ho un problema con la risoluzione di un esercizio sulla parabola che non riesco a fare. Dovrei scrivere l'equazione della parabola conoscendo le coordinate del fuoco e l'equazione della direttrice. Come dovrei fare? Scrivere l'equazione della parabola che ha per direttrice la retta di equazione y = -(13)/(4) e per fuoco il punto F(-(1)/(4), ,-3). Una retta passa per il fuoco e per il punto di intersezione della parabola con il semiasse positivo delle ascisse; determinare l'ulteriore punto di intersezione della parabola con la retta. Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

L'esercizio si compone di due richieste che affronteremo una per volta. Equazione della parabola noti il fuoco e la direttrice Il primo punto del problema ci chiede di scrivere l'equazione della parabola sapendo che:-il fuoco ha coordinate F(x_F,y_F) = (-(1)/(4), ,-3)-la direttrice della parabola ha equazione d : y = -(13)/(4) Per affrontarlo sfruttiamo direttamente la definizione di parabola: essa è il luogo geometrico dei punti (x,y) del piano equidistanti dal fuoco e dalla direttrice. Indichiamo con P(x,y) il generico punto della parabola e calcoliamo la sua distanza dal fuoco F: basta usare la formula della distanza tra due punti ; dist(P,F) = √((x_P-x_F)^2+(y_P-y_F)^2) = √([x-(-(1)/(4))]^2+[y-(-3)]^2) = √((x+(1)/(4))^2+(y+3)^2) Il prossimo passo è quello di calcolare la distanza tra il generico punto della parabola e la direttrice. Nulla di complicato, è sufficiente rifarsi alla formula della distanza punto-retta. dist(P,d) = (|a x_P+b y_P+c|)/(√(a^2+b^2)) = dove a,b,c sono i coefficienti dell'equazione della retta d espressa in forma implicita e valgono rispettivamente a = 0, , b = 1, , c = (13)/(4) = (|0·x+1·y+(13)/(4)|)/(√(0^2+1^2)) = |y+(13)/(4)| Atteniamoci alla definizione di parabola e imponiamo che le distanze siano uguali ; dist(P,F) = dist(P,d) ; √((x+(1)/(4))^2+(y+3)^2) = |y+(13)/(4)| Eleviamo al quadrato i due membri così da sbarazzarci della radice quadrata e il valore assoluto (x+(1)/(4))^2+(y+3)^2 = (y+(13)/(4))^2 Sviluppiamo i vari quadrati di binomio ; x^2+(1)/(16)+2·(1)/(4)·x+y^2+9+2·3·y = y^2+(169)/(16)+2·(13)/(4)·y ; x^2+(1)/(16)+(1)/(2)x+y^2+9+6y = y^2+(169)/(16)+(13)/(2)y Portiamo tutti i termini al primo e sommiamo tra loro i monomi simili ; x^2+(1)/(16)+(1)/(2)x+y^2+9+6y-y^2-(169)/(16)-(13)/(2)y = 0 ; x^2+(1)/(2)x-(3)/(2)-(y)/(2) = 0 ; (-3+x+2x^2-y)/(2) = 0 Moltiplichiamo a destra e a sinistra per 2 e scriviamo l'equazione della parabola nella sua forma normale P : y = 2x^2+x-3 Equazione della retta e punto di intersezione con la parabola Il secondo punto del problema ci chiede implicitamente di scrivere l'equazione della retta r che passa per il fuoco F e per il punto Q di intersezione tra la parabola e l'asse delle ascisse positive. Troviamo il punto Q mettendo a sistema l'equazione della parabola e quella dell'asse delle ascisse P ∩ x : y = 2x^2+x-3 ; y = 0 Procediamo con il metodo di sostituzione. Sostituiamo y = 0 nella prima equazione 2x^2+x-3 = 0 ; y = 0 e ricaviamo le soluzioni dell'equazione di secondo grado ottenuta. Indichiamo con a,b,c rispettivamente il coefficiente del termine in x, quello del termine in x e il termine noto, poniamo cioè: a = 2 ; b = 1 ; c = -3 dopodiché usiamo la formula del discriminante ; x_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = (-1±√(1^2-4·2·(-3)))/(2·2) = (-1±√(25))/(4) = (-1-5)/(4) = -(6)/(4) = -(3)/(2) = x_1 ; (-1+5)/(4) = (4)/(4) = 1 = x_2 I punti di intersezione tra la parabola e l'asse delle ascisse sono quindi ; Q_1(x_(Q_1),y_(Q_1)) = (-(3)/(2), , 0) ; Q_2(x_(Q_2),y_(Q_2)) = (1,0) ma quello che serve per la risoluzione del problema è il punto avente ascissa positiva, ossia Q_2. Abbiamo le informazioni necessarie a scrivere l'equazione della retta passante per i punti F e Q_2 ; r : (y-y_(Q_2))/(y_(F)-y_(Q_2)) = (x-x_(Q_1))/(x_(F)-x_(Q_2)) ; (y-0)/(-3-0) = (x-1)/(-(1)/(4)-1) ;-(y)/(3) = -(4)/(5)(x-1) Isoliamo y al primo membro così da ottenere l'equazione della retta in forma esplicita r : y = (12)/(5)(x-1) → y = (12)/(5)x-(12)/(5) Usiamo l'equazione di r e quella della parabola P per impostare il sistema che permette di ricavare i loro punti di intersezione r ∩ P : y = (12)/(5)x-(12)/(5) ; y = 2x^2+x-3 Sostituiamo y = (12)/(5)x-(12)/(5) nella seconda equazione y = (12)/(5)x-(12)/(5) ; (12)/(5)x-(12)/(5) = 2x^2+x-3 Occupiamoci dell'equazione di secondo grado in x (12)/(5)x-(12)/(5) = 2x^2+x-3 moltiplicando i due membri per 5 12x-12 = 10x^2+5x-15 Trasportiamo tutto al primo membro e sommiamo i termini simili 10x^2-7x-3 = 0 Ora che l'equazione è in forma normale, usiamo la formula del discriminante per ricavarne le soluzioni ; x_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = (-(-7)±√((-7)^2-4·10·(-3)))/(2·10) = (7±√(49+120))/(20) = (7±√(169))/(20) = (7±13)/(20) = (7+13)/(20) = 1 = x_1 ; (7-13)/(20) = -(3)/(10) = x_2 I numeri reali x_1 = 1 e x_2 = -(3)/(10) rappresentano le ascisse dei punti di intersezione tra la parabola e la retta r. Le loro ordinate si ottengono sostituendo x_1 e x_2 nell'equazione di r. A x_1 = 1 associamo l'ordinata y_1 = (12)/(5)·1-(12)/(5) = 0 pertanto il primo punto di intersezione è A(1,0). A x_2 = -(3)/(10) associamo l'ordinata y_2 = (12)/(5)·(-(3)/(10))-(12)/(5) = -(78)/(25) di conseguenza il secondo punto di intersezione è B(-(3)/(10), ,-(78)/(25)). Abbiamo finito.