Soluzioni
  • L'esercizio si compone di due richieste che affronteremo una per volta.

    Equazione della parabola noti il fuoco e la direttrice

    Il primo punto del problema ci chiede di scrivere l'equazione della parabola sapendo che:

    - il fuoco ha coordinate

    F(x_F,y_F)=\left(-\frac{1}{4},\, -3\right)

    - la direttrice della parabola ha equazione

    d \ :\ y=-\frac{13}{4}

    Per affrontarlo sfruttiamo direttamente la definizione di parabola: essa è il luogo geometrico dei punti (x,y) del piano equidistanti dal fuoco e dalla direttrice.

    Indichiamo con P(x,y) il generico punto della parabola e calcoliamo la sua distanza dal fuoco F: basta usare la formula della distanza tra due punti

    \\ \mbox{dist}(P,F)=\sqrt{(x_P-x_F)^2+(y_P-y_F)^2}= \\ \\ \\ =\sqrt{\left[x-\left(-\frac{1}{4}\right)\right]^2+\left[y-(-3)\right]^2}= \\ \\ \\ =\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^2+(y+3)^2}

    Il prossimo passo è quello di calcolare la distanza tra il generico punto della parabola e la direttrice. Nulla di complicato, è sufficiente rifarsi alla formula della distanza punto-retta.

    \mbox{dist}(P,d)=\frac{|a x_P+b y_P+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=

    dove a,b,c sono i coefficienti dell'equazione della retta d espressa in forma implicita e valgono rispettivamente a=0,\, b=1,\, c=\frac{13}{4}

    =\frac{\left|0\cdot x+1\cdot y+\dfrac{13}{4}\right|}{\sqrt{0^2+1^2}}=\left|y+\frac{13}{4}\right|

    Atteniamoci alla definizione di parabola e imponiamo che le distanze siano uguali

    \\ \mbox{dist}(P,F)=\mbox{dist}(P,d) \\ \\ \\ \sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^2+(y+3)^2}=\left|y+\frac{13}{4}\right|

    Eleviamo al quadrato i due membri così da sbarazzarci della radice quadrata e il valore assoluto

    \left(x+\frac{1}{4}\right)^2+(y+3)^2=\left(y+\frac{13}{4}\right)^2

    Sviluppiamo i vari quadrati di binomio

    \\ x^2+\frac{1}{16}+2\cdot\frac{1}{4}\cdot x+y^2+9+2\cdot 3\cdot y=y^2+\frac{169}{16}+2\cdot\frac{13}{4}\cdot y \\ \\ \\ x^2+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x+y^2+9+6y= y^2+\frac{169}{16}+\frac{13}{2}y

    Portiamo tutti i termini al primo e sommiamo tra loro i monomi simili

    \\ x^2+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x+y^2+9+6y-y^2-\frac{169}{16}-\frac{13}{2}y=0 \\ \\ \\ x^2+\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}-\frac{y}{2}=0\\ \\ \\ \frac{-3+x+2x^2-y}{2}=0

    Moltiplichiamo a destra e a sinistra per 2 e scriviamo l'equazione della parabola nella sua forma normale

    \mathrm{P} \ : \ y=2x^2+x-3

    Equazione della retta e punto di intersezione con la parabola

    Il secondo punto del problema ci chiede implicitamente di scrivere l'equazione della retta r che passa per il fuoco F e per il punto Q di intersezione tra la parabola e l'asse delle ascisse positive.

    Troviamo il punto Q mettendo a sistema l'equazione della parabola e quella dell'asse delle ascisse

    \mathrm{P}\cap x \ : \ \begin{cases}y=2x^2+x-3\\ y=0\end{cases}

    Procediamo con il metodo di sostituzione. Sostituiamo y=0 nella prima equazione

    \begin{cases}2x^2+x-3=0\\ y=0\end{cases}

    e ricaviamo le soluzioni dell'equazione di secondo grado ottenuta.

    Indichiamo con a,b,c rispettivamente il coefficiente del termine in x, quello del termine in x e il termine noto, poniamo cioè:

    a=2 \ \ \ ; \ \ \ b=1 \ \ \ ; \ \ \ c=-3

    dopodiché usiamo la formula del discriminante

    \\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 2\cdot (-3)}}{2\cdot 2}= \\ \\ \\ =\frac{-1\pm\sqrt{25}}{4}=\begin{cases}\dfrac{-1-5}{4}=-\dfrac{6}{4}=-\dfrac{3}{2}=x_1\\ \\ \\ \dfrac{-1+5}{4}=\dfrac{4}{4}=1=x_2\end{cases}

    I punti di intersezione tra la parabola e l'asse delle ascisse sono quindi

    \\ Q_1(x_{Q_1},y_{Q_1})=\left(-\frac{3}{2},\, 0\right) \\ \\ \\ Q_2(x_{Q_2},y_{Q_2})=\left(1,0\right)

    ma quello che serve per la risoluzione del problema è il punto avente ascissa positiva, ossia Q_2.

    Abbiamo le informazioni necessarie a scrivere l'equazione della retta passante per i punti F\ \mbox{e} \ Q_2

    \\ r\ :\ \frac{y-y_{Q_2}}{y_{F}-y_{Q_2}}=\frac{x-x_{Q_1}}{x_{F}-x_{Q_2}} \\ \\ \\ \frac{y-0}{-3-0}=\frac{x-1}{-\dfrac{1}{4}-1}\\ \\ \\ -\frac{y}{3}=-\frac{4}{5}(x-1)

    Isoliamo y al primo membro così da ottenere l'equazione della retta in forma esplicita

    r\ :\ y=\frac{12}{5}(x-1)\ \ \ \to \ \ \ y=\frac{12}{5}x-\frac{12}{5}

    Usiamo l'equazione di r e quella della parabola \mathrm{P} per impostare il sistema che permette di ricavare i loro punti di intersezione

    r\cap\mathrm{P}\ : \ \begin{cases}y=\dfrac{12}{5}x-\dfrac{12}{5}\\ \\ y=2x^2+x-3\end{cases}

    Sostituiamo y=\frac{12}{5}x-\frac{12}{5} nella seconda equazione

    \begin{cases}y=\dfrac{12}{5}x-\dfrac{12}{5}\\ \\ \dfrac{12}{5}x-\dfrac{12}{5}=2x^2+x-3\end{cases}

    Occupiamoci dell'equazione di secondo grado in x

    \frac{12}{5}x-\frac{12}{5}=2x^2+x-3

    moltiplicando i due membri per 5

    12x-12=10x^2+5x-15

    Trasportiamo tutto al primo membro e sommiamo i termini simili

    10x^2-7x-3=0

    Ora che l'equazione è in forma normale, usiamo la formula del discriminante per ricavarne le soluzioni

    \\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot 10\cdot (-3)}}{2\cdot 10}= \\ \\ \\ = \frac{7\pm\sqrt{49+120}}{20}=\frac{7\pm\sqrt{169}}{20}=\\ \\ \\ =\frac{7\pm 13}{20}=\begin{cases}\dfrac{7+13}{20}=1=x_1\\ \\ \dfrac{7-13}{20}=-\dfrac{3}{10}=x_2\end{cases}

    I numeri reali

    x_1=1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ x_2=-\frac{3}{10}

    rappresentano le ascisse dei punti di intersezione tra la parabola e la retta r. Le loro ordinate si ottengono sostituendo x_1 \ \mbox{e} \ x_2 nell'equazione di r.

    A x_1=1 associamo l'ordinata

    y_1=\frac{12}{5}\cdot 1-\frac{12}{5}=0

    pertanto il primo punto di intersezione è A(1,0).

    A x_2=-\frac{3}{10} associamo l'ordinata

    y_2=\frac{12}{5}\cdot\left(-\frac{3}{10}\right)-\frac{12}{5}=-\frac{78}{25}

    di conseguenza il secondo punto di intersezione è B\left(-\frac{3}{10},\,-\frac{78}{25}\right).

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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