Soluzioni
  • Abbiamo l'equazione della parabola (ti consiglio di tenere aperta la scheda con tutte le formule sulla parabola):

    y= \frac{1}{8}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}

    uscenti dal punto P di coordinate:

    P\left(\farc{1}{3},-3\right)

    Costruiamo il fascio di rette passanti per il punto P:

    y-(-3)= m\left(x-\frac{1}{3}\right)\iff y+3= m\left(x-\frac{1}{3}\right)

    Da cui otteniamo:

    y= mx-\frac{1}{3}m-3

    Imponiamo il sistema:

    \begin{cases}y= \frac{1}{8}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\\ y= mx-\frac{1}{3}m-3\end{cases}

    Per sostituzione otteniamo l'equazione risolvente:

    mx-\frac{1}{3}m-3= \frac{1}{8}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}

    Ordinandola in modo opportuno avremo:

    \frac{-3x^2+12(1+2m)x-4(15+2m)}{24}=0

    Il denominatore non serve più. Calcoliamo il discriminante associato all'equazione di secondo grado:

    -3x^2+12(1+2m)x-4(15+2m)=0

    \Delta= (12(1+2m))^2-4(-3)(-4(15+2m))= 96(6m^2+5m-6)

    Imponiamo la condizione di tangenza tra retta e parabola:

    \Delta =0\iff 6m^2+5m-6=0

    Otterremo due soluzioni:

    m_1=-\frac{3}{2}

    e

    m_2= \frac{2}{3}

    A questo punto otteniamo due rette:

    y=-\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}

    e

    y= \frac{2}{3}x-\frac{29}{9}

    Ora per trovare i punti di tangenza sostituisci alla equazione risolvente 

    \frac{-3x^2+12(1+2m)x-4(15+2m)}{24}=0

    una volta con il primo m e una volta col secondo m.

    Risolvi le equazioni che ne escono =) Se hai bisogno di una mano sono qui :)

    Risposta di Ifrit
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