Integrale indefinito di un rapporto con logaritmi

Calcoliamo l'integrale per sostituzione

in particolare conviene effettuare la sostituzione

e calcolarne direttamente il differenziale per derivazione:

(per approfondire - sostituzioni logaritmiche negli integrali).

Osserviamo che così facendo possiamo sostituire direttamente con e la funzione logaritmo con

Questo integrale lo si può calcolare dividendo il numeratore termine a termine

e esprimendo l'integrale della somma come somma di integrali, per linearità dell'integrale

Quelli ottenuti sono integrali fondamentali che possono essere risolti mediante la regola di integrazione di una potenza

dove è una costante additiva reale. Non ci resta che riportare il risultato in , ricordando la sostituzione fatta, ossia

L'esercizio è concluso.

Metodo alternativo: è possibile risolvere l'integrale in modo leggermente differente, in modo da bypassare la sostituzione.

Semplificando in modo opportuno ci riconduciamo a due integrali

che si possono risolvere per direttissima, a patto di notare che entrambi si presentano nella forma

In particolare si ha che

e

La formula di integrazione in forma generale deriva direttamente dal teorema di derivazione della funzione composta applicato al contrario.

A questo punto non rimane che ricomporre il risultato, ottenendo quello precedente.

Un piccolo suggerimento: utilizza la scheda degli esercizi svolti sugli integrali indefiniti per esercitarti e sfrutta il risolutore che consente di risolvere gli integrali online.