Soluzioni
  • Calcoliamo l'integrale per sostituzione

    \int\frac{\log^2(x)+1}{x\log(x)}dx=

    in particolare conviene effettuare la sostituzione

    z=\log(x)

    e calcolarne direttamente il differenziale per derivazione:

    dz=\frac{1}{x}dx

    (per approfondire - sostituzioni logaritmiche negli integrali).

    Osserviamo che così facendo possiamo sostituire direttamente \frac{dx}{x} con dz e la funzione logaritmo con z

    =\int\frac{z^2+1}{z}dz=

    Questo integrale lo si può calcolare dividendo il numeratore termine a termine

    \\ =\int\left(\frac{z^2}{z}+\frac{1}{z}\right)dz= \\ \\ \\ = \int\left(z+\frac{1}{z}\right)dz=

    e esprimendo l'integrale della somma come somma di integrali, per linearità dell'integrale

    =\int zdz+\int\frac{1}{z}dx=

    Quelli ottenuti sono integrali fondamentali che possono essere risolti mediante la regola di integrazione di una potenza

    =\frac{z^2}{2}+\log(|z|)+c=

    dove c\in\mathbb{R} è una costante additiva reale. Non ci resta che riportare il risultato in x, ricordando la sostituzione fatta, ossia z=\log(x)

    =\frac{\log^2(x)}{2}+\log(|\log(x)|)+c

    L'esercizio è concluso.

     

    Metodo alternativo: è possibile risolvere l'integrale in modo leggermente differente, in modo da bypassare la sostituzione.

    \\ \int\frac{\log^2(x)+1}{x\log(x)}= \\ \\ \\ =\int\left(\frac{\log^2(x)}{x\log(x)}+\frac{1}{x\log(x)}\right)dx=

    Semplificando in modo opportuno ci riconduciamo a due integrali

    =\int\frac{\log(x)}{x}dx+\int\frac{1}{\log(x)}\cdot\frac{1}{x}dx=

    che si possono risolvere per direttissima, a patto di notare che entrambi si presentano nella forma

    \int [f(x)]^{n}f'(x)dx=\begin{cases}\frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1}+c_1&\mbox{ se }n\ne -1\\ \\ \log(|f(x)|)+c_1&\mbox{ se }n=1\end{cases}

    In particolare si ha che

    \int\frac{\log(x)}{x}dx=\frac{\log^2(x)}{2}+c_1

    e

    \int\frac{1}{\log(x)}\cdot\frac{1}{x}dx=\log(|\log(x)|)+c_2

    La formula di integrazione in forma generale deriva direttamente dal teorema di derivazione della funzione composta applicato al contrario.

    A questo punto non rimane che ricomporre il risultato, ottenendo quello precedente.

    Un piccolo suggerimento: utilizza la scheda degli esercizi svolti sugli integrali indefiniti per esercitarti e sfrutta il risolutore che consente di risolvere gli integrali online.

    Risposta di Ifrit
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