Risolvere esercizio con frazioni algebriche

Per semplificare la frazione algebrica

bisogna scomporre i polinomi a numeratore e a denominatore, utilizzando le giuste tecniche di fattorizzazione, quali: il metodo del raccoglimento totale, quello del raccoglimento parziale, la fattorizzazione mediante prodotti notevoli o ancora la regola di Ruffini.

Analizziamo il binomio : esso è praticamente la somma tra il cubo di e il cubo di , e in virtù della regola di scomposizione della somma di cubi, possiamo scrivere:

dove il trinomio è un falso quadrato di secondo grado e in quanto tale irriducibile. Tale trinomio, inoltre, è lo stesso che compare a denominatore!

Dopo aver scomposto i polinomi, bisogna imporre le condizioni di esistenza, richiedendo che il polinomio a denominatore sia diverso da zero:

Nota: solitamente, le semplificazioni delle frazioni algebriche sono un argomento che si affronta prima delle equazioni di secondo grado, necessarie per poter esplicitare la condizione precedente. Chi conosce le equazioni sa già che la relazione

è soddisfatta per ogni , giacché il discriminante associato è negativo. Gli studenti che non hanno ancora studiato l'argomento possono tranquillamente procedere con la risoluzione dell'esercizio. Fine nota.

Note le scomposizioni del numeratore e del denominatore, procediamo con la semplificazione della frazione algebrica: in buona sostanza sostituiamo i polinomi con le relative scomposizioni

dividiamo numeratore e denominatore per e scriviamo il risultato

Abbiamo terminato.

Usiamo la stessa strategia per poter semplificare la frazione algebrica

partendo dalla scomposizione del numeratore, vale a dire . Tale binomio è chiaramente la differenza dei quadrati di e può essere decomposto come prodotto tra la somma e la differenza delle basi:

Analizziamo il denominatore

che può essere decomposto con la tecnica del trinomio speciale che prevede di determinare due numeri interi la cui somma coincide con il coefficiente di , vale a dire 2, il cui prodotto coincide con il termine noto, ossia -3. In altre parole, ricerchiamo due numeri tali che:

Dopo qualche tentativo, scopriamo che , infatti

In accordo con la regola sulla fattorizzazione del trinomio speciale, siamo in grado di scrivere la scomposizione associata al denominatore.

Prima di procedere con la semplificazione, bisogna imporre le condizioni di esistenza per le frazioni algebriche richiedendo che ciascun fattore della scomposizione del polinomio a denominatore sia diverso da zero:

da cui

dove è il connettivo logico che individua la congiunzione "e".

Dopo aver ricavato le condizioni per cui la frazione ha senso, possiamo procedere con la semplificazione. Sostituiamo i polinomi a numeratore e a denominatore con le rispettive scomposizioni

e, in seguito, dividiamo numeratore e denominatore per

La semplificazione è valida nel momento in cui l'indeterminata soddisfa le condizioni di esistenza:

Abbiamo finito.