Soluzioni
  • Per risolvere entrambi gli esercizi, dobbiamo scomporre i polinomi che si trovano sia a numeratore che a denominatore nelle singole frazioni algebriche. Oltre ai prodotti notevoli, bisogna sapere anche come semplificare una frazione algebrica!

    Consideriamo la frazione

    \frac{x^3-3x^2+3x-1}{x^2-2x+1}

    e cominciamo a scomporre i polinomi a numeratore e a denominatore: il polinomio

    x^3-3x^2+3x-1

    è lo sviluppo del cubo del binomio x-1, infatti: x^3 è il cubo di x; -3x^2 è il triplo prodotto tra il quadrato di x\ \mbox{e} \ -1; 3x è il triplo prodotto tra x e il quadrato di -1 e infine -1 è il cubo di se stesso.

    Siamo autorizzati a scrivere quindi la seguente uguaglianza:

    x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3

    Occupiamoci del trinomio a denominatore, vale a dire:

    x^2-2x+1

    Esso è lo sviluppo del quadrato di un binomio, più precisamente di x-1, infatti: x^2 è il quadrato di x; -2x è il doppio prodotto tra x\ \mbox{e} \ -1, mentre 1 è il quadrato di -1

    In definitiva

    x^2-2x+1=(x-1)^2

    Prima di procedere con la semplificazione della frazione algebrica, è necessario determinare le condizioni di esistenza della stessa: è sufficiente richiedere che i fattori che compongono il polinomio a denominatore siano tutti diversi da zero

    C.E.: \ (x-1)^2\ne 0

    Ricordiamo che una potenza è diversa da zero se e solo se lo è la sua base, di conseguenza la relazione precedente si traduce in:

    C.E.: \ x-1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 1

    Perfetto! Ora che è noto l'insieme di esistenza, siamo autorizzati a semplificare la frazione! Come? Basta sostituire i polinomi che la compongono con le rispettive scomposizioni e dividere successivamente i fattori comuni sfruttando a dovere la regola sul quoziente di due potenze con la stessa base

    \\ \frac{x^3-3x^2+3x-1}{x^2-2x+1}=\frac{(x-1)^3}{(x-1)^2}= \\ \\ \\ =(x-1)^{3-2}=x-1

    Sia chiaro che la doppia uguaglianza ha senso nel momento in cui l'indeterminata soddisfa le condizioni di esistenza, ossia x\ne 1.

     

    Sfruttiamo la stessa strategia per semplificare la frazione algebrica

    \frac{1-x}{x^3-3x^2+3x-1}

    Si noti che in questo caso il grado del polinomio a numeratore è 1, ed è pertanto irriducibile. Occupiamoci del denominatore

    x^3-3x^2+3x-1

    il quale non è altro che lo sviluppo del cubo di un binomio, infatti: x^3 è il cubo di x; -3x^2 è il triplo prodotto tra il quadrato di x\ \mbox{e} \ -1; 3x è il triplo prodotto tra x e il quadrato di -1 mentre -1 è il cubo di se stesso.

    In base alla regola di scomposizione, possiamo scrivere l'uguaglianza

    x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3

    Imponiamo a questo punto le condizioni di esistenza richiedendo che i fattori che compongono il polinomio a denominatore siano non nulli

    C.E.: \ (x-1)^3\ne 0

    Tenendo a mente che una potenza è non nulla se e solo se non lo è nemmeno la sua base, la precedente condizione si riscrive come:

    C.E.: \ x-1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 1

    Finalmente possiamo semplificare la frazione algebrica! Sostituiamo al posto dei polinomi le loro scomposizioni

    \frac{1-x}{x^3-3x^2+3x-1}=\frac{1-x}{(x-1)^3}=

    raccogliamo il segno - al numeratore

    =-\frac{x-1}{(x-1)^3}=

    e infine semplifichiamo (x-1)\ \mbox{con} \ (x-1)^3

    =-\frac{1}{(x-1)^2}

    In definitiva:

    \frac{1-x}{x^3-3x^2+3x-1}=-\frac{1}{(x-1)^2}

    a patto che x soddisfi la condizione di esistenza x\ne 1.

    È fatta!

    Risposta di Ifrit
 
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