Soluzioni
  • Ciao Silvia91 arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo l'integrale:

    \int \frac{1-\ln(2x+1)}{(2x+1)^2}dx

    e cominciamo calcolando l'integrale per sostituzione. Un prima sostituzione che mi viene in mente è la seguente:

    Poniamo:

    t=2x+1\implies dt= 2dx\implies dx= \frac{dt}{2}

    l'integrale si scrive come:

    \int \frac{1-\ln(t)}{t^2}\frac{dt}{2}= \frac{1}{2}\int \frac{1}{t^2}-\frac{\ln(t)}{t^2}dt

    Sfruttiamo la linearità dell'integrale:

    \frac{1}{2}\left(\int \frac{1}{t^2}dt-\int \frac{\ln(t)}{t^2}dt\right)

    Ora lavoriamo separatamente sugli integrali:

    \int \frac{1}{t^2}dt= \int t^{-2}dt=-\frac{1}{t}+c

    Adesso concentriamoci sul secondo integrale:

    \int \frac{\ln(t)}{t^2}dt

    Procediamo per parti scegliendo come fattore finito (da derivare) la funzione:

    f(t)= \ln(t)\implies f'(t)= \frac{1}{t}

    e come fattore differenziale (da integrare ) la funzione:

    g'(t)= \frac{1}{t^2}\implies g(t)=-\frac{1}{t}

    Usando la formula di integrazione per parti si ha che:

    \int \frac{\ln(t)}{t^2}dt= -\frac{\ln(t)}{t}-\int -\frac{1}{t^2}dt=

    =-\frac{\ln(t)}{t}+\int t^{-2}dt=

    = -\frac{\ln(t)}{t}-\frac{1}{t}+c_1

    Quindi:

    \int \frac{1-\ln(t)}{t^2}\frac{dt}{2}= \frac{1}{2}\int \frac{1}{t^2}-\frac{\ln(t)}{t^2}dt=

    = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{t}+\frac{\ln(t)}{t}+\frac{1}{t}+c\right)=

    = \frac{1}{2}\left(\frac{\ln(t)}{t}+c\right)= \frac{\ln(t)}{2t}+2c

    Ricordando che t= 2x+1 si ha:

    \int \frac{1-\ln(2x+1)}{(2x+1)^2}dx= \frac{\ln(2x+1)}{2(2x+1)}+k

     

    Se ci sono domande sono qui :)

    Risposta di Ifrit
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