Soluzioni
  • Ciao Bustedd, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Ciao Bustedd bentornato :D

    Arrivo :)

    Risposta di Ifrit
  • Lo scopo dell'esercizio è determinare i punti di intersezione tra circonferenza e retta, corretto? :)

    Risposta di Omega
  • Il libro dice: "risolvi graficamente i seguenti sistemi parametrici, al variare di K.

    Ti do anche i risultati:
    1 soluzione per -12_< k_< -2radq2
    2 soluzioni per -3(1 + radq10) _< k < -12 

    Risposta di Bustedd
  • Ok :)

    Essendo l'equazione della circonferenza

    x^2 + y^2 - 2x - 8 = 0

    può essere riscritta, per completamento del quadrato relativo a x, come

    (x-1)^2 + y^2 =9

    quindi centro C=(0,0) e raggio r=3. Tutto ok. :)

    L'equazione

    3x + y + k = 0

    rappresenta un fascio improprio di rette (rette parallele), infatti possiamo scriverlo nella forma

    y =-3x-k

    e si vede che il parametro k fa variare l'ordinata all'origine.

    Per farti un'idea, disegna la circonferenza nel piano cartesiano, ed una delle rette del fascio, ad esempio quello che si ottiene per k=0 che è y=-3x. Tutte le altre rette del fascio sono parallele a questa.

    Per risolvere il problema dobbiamo individuare le due rette del fascio che sono tangenti alla circonferenza: tali rette garantiscono, entrambe, un unico punto di intersezione con la circonferenza (il punto di tangenza). Tutte le rette individuate dai valori del parametro k compresi tra i due valori delle rette tangenti (valori del parametro) garantiranno due intersezioni distinte; tutti gli altri valori non garantiranno alcuna intersezione (individuano le rette del fascio esterne alla circonferenza).

    Per trovare le due rette del fascio tangenti alla circonferenza, mettiamo a sistema

    \left\{\begin{matrix}(x-1)^2 + y^2 =9\\ y=-3x-k\end{matrix}

    Sostituendo l'espressione dell'ordinata della retta del fascio nella prima equazione otteniamo un'equazione di secondo grado in x dipendente dal parametro k.

    (x-1)^2 + (-3x-k)^2 =9

    Questa equazione può essere riscritta nella forma

    10x^2+x(-2+6k)+(-8+k^2)=0

    La condizione di tangenza consiste nell'annullamento del discriminante (delta) di tale equazione di secondo grado. Il discriminante dipenderà solamente da k dunque la condizione di annullamento consisterà in un'equazione di secondo grado in k che, risolta, ci permetterà di determinare i valori di k che individuano le rette tangenti.

    \Delta=(-2+6k)^2-4\cdot 10\cdot (k^2-8)=0

    Tale equazione ha soluzioni

    k=3(-1\pm\sqrt{10})

    ALT, FERMI TUTTI! :)

    A noi interessano solamente le intersezioni che si trovano nel primo quadrante. La prima retta che del fascio che interseca le intersezioni della circonferenza con coordinate che dobbiamo considerare è la retta che passa per le intersezioni della circonferenza con i semiassi cartesiani positivi. Questi si individuano mettendo a sistema

    (x-1)^2+y^2=9

    x=0

    e

    (x-1)^2+y^2=9

    y=0

    Tali sistemi hanno rispettivamente soluzioni

    y=\pm 2\sqrt{2}

    e

    x=-2\mbox{ ; }x=4

    A noi interessano solamente quelle che giacciono sui semiassi positivi, quindi rispettivamente

    (0,2\sqrt{2})\mbox{ }(4,0)

    Le rette del fascio che passano per tali punti sono individuate da

    2\sqrt{2}=0-k\to k=-2\sqrt{2}

    e

    0=-12-k\to k=-12

    Dopo averel rappresentate entrambe, è un gioco da ragazzi vedere quali sono i valori di k che garantiscono una intersezione, due intersezioni o nessuna intersezione. Wink

    Naturalmente devi limitarti a considerare i punti di intersezione con l'arco di circonferenza contenuto nel primo quadrante...

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Perchè non vieni al posto del mio insegnante di matematica?  

    Grazie mille Omega, ora vado avanti come hai detto tu, ho trovato anche altri metodi ma non mi sembra che mi portino da qualche parte!

     

    Risposta di Bustedd
  • Allora mi sono bloccato al punto:

    Tale equazione ha soluzioni

    k=3(-1\pm\sqrt{10})

    Ho fatto tutto e mi viene

    k^2 + 6K - 81 = 0\ \to\ k=-3 \pm \sqrt{90}

    Cosa ho sbagliato: il procedimento o i calcoli?

    Risposta di Bustedd
  • Non hai sbagliato nulla Wink è sufficiente raccogliere un 3 tra i due termini, infatti

    -3\pm\sqrt{90}=-3\pm\sqrt{9\cdot 10}=-3\pm\pm 3\sqrt{10}=3(-1\pm\sqrt{10})

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Fail.

    grazie ancora Omega, però ti chiedo soltanto di non chiudere il post per evitare di farmi aprire i post inutili xD


    Continuo con l'esercizio!



    PS: Non si possono editare più i messaggi? O.o 

    Risposta di Bustedd
  • Ma non l'avevo chiuso io prima...Laughing

    Lasciamolo pure aperto: i messaggi non sono editabili lato utente, sono editabili solamente lato Staff Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Ok, ho trovato l'errore che mi ha confuso (sicuramente una distrazione):

    Le rette del fascio che passano per tali punti sono individuate da

    2\sqrt{2}=0-k\to k=2\sqrt{2}

    e

    0=-12-k\to k=-12

    Sarebbe:

    k = -2\sqrt{2}\\ \\ k = -12

    Soltanto questo ti volevo segnalare, il resto è tutto perfetto! ;)

    Risposta di Bustedd
  • Aaaaaah! Surprised

    Un typo, che correggo al volo Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Ahah non ti preoccupare il problema alla fine non è quello!

    Il problema è che non riesco a rappresentare queste rette!

    Sostituisco K in y = -3x - k   sia K= -2radq2 sia K = -12

    Ti giuro questa è l'ultima che ti rompo con queste stupidaggini! >.<

     

    Risposta di Bustedd
  • Esattamente! E ottieni due rette:

    y=-3x+2\sqrt{2}

    e

    y=-3x+12

    Entrambe hanno coefficiente angolare m=-3, solo che la prima passa per il punto di intersezione dell'arco di circonferenza con il semiasse delle ordinate positive, mentre la seconda passa per il punto di intersezione dell'arco di circonferenza con il semiasse delle ascisse positive.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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