Funzione con parametro e retta tangente

Ciao, ho una domanda sul valore del parametro di una funzione conoscendo l'equazione della retta tangente in un punto.

 

Tra le funzioni f tali che f'(x)=(c-2)x +ce^x, determinare quella tangente in x=-1 alla retta di equazione y=1-3x.

Grazie!

In Uni - Analisi - Domanda di silvia91

Soluzioni

  • Ciao Silvia91 arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Abbiamo una funzione f di cui conosciamo la derivata prima:

    f'(x)= (c-2)x+c e^{x}

    Valutando la derivata prima nel punto -1 otterremo il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione f nel punto x=-1:

    f'(-1)= (c-2)(-1)+c e^{-1}= -c+2+ce^{-1}= c(e^{-1}-1)+2

    Ora il coefficiente angolare della retta tangente data dall'esercizio è:

    m=-3

    Di conseguenza dobbiamo imporre che:

    m= f'(-1)\iff -3= c(e^{-1}-1)+2\iff c= \frac{-5}{(e^{-1}-1)}

    Da qui scopriamo che la derivata prima della funzione è:

    f'(x)=\frac{5e^{1+x}+2x+3 e x}{e-1}

    A questo punto calcoliamo l'integrale indefinito per determinare la famiglia delle primitive della funzione f'(x)

    f(x)= \int \frac{5e^{1+x}+2x+3e x}{e-1}dx=\frac{1}{e-1}\int 5e^{1+x}+2x+3 exdx=

    = \frac{10 e^{1+x}+2x^2+3 e x^2}{2(e-1)}+d

    Ci rimane da determinare la costande additiva d, e per farlo abbiamo bisogno del punto di tangenza:

    Calcoliamo il punto di tangenza utilizzando l'equazione della retta:

    y=1-3(-1)= 4\implies P(-1, 4)

     

    La funzione f passa per il punto (-1, 4) quindi dobbiamo imporre la condizione di appartenenza:

    f(-1)=\frac{3(4+e)}{2(e-1)} +d

    Poiché f(-1)=4 otteniamo l'equazione:

    \frac{3(4+e)}{2(e-1)}+d=4\implies d= 4-\frac{3(4+e)}{2(e-1)}= \frac{5(e-4)}{2(e-1)}

    Abbiamo determinato i parametri che definiscono univocamente la funzione f:

    f(x)=\frac{10 e^{1+x}+2x^2+3 e x^2}{2(e-1)}+\frac{5(e-4)}{2(e-1)}

    Se vuoi disegnare la retta e il grafico della funzione: grafici online

    Risposta di Ifrit
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