Funzione con parametro e retta tangente

  1. Home
  2. Domande e Risposte
  3. Università - Analisi

Ciao, ho una domanda sul valore del parametro di una funzione conoscendo l'equazione della retta tangente in un punto.

 

Tra le funzioni f tali che f'(x)=(c-2)x +ce^x, determinare quella tangente in x=-1 alla retta di equazione y=1-3x.

Grazie!

Domanda di silvia91

 
Soluzioni

  • Ciao Silvia91 arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Abbiamo una funzione f di cui conosciamo la derivata prima:

    f'(x) = (c-2)x+c e^(x)

    Valutando la derivata prima nel punto -1 otterremo il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione f nel punto x=-1:

    f'(-1) = (c-2)(-1)+c e^(-1) = -c+2+ce^(-1) = c(e^(-1)-1)+2

    Ora il coefficiente angolare della retta tangente data dall'esercizio è:

    m = -3

    Di conseguenza dobbiamo imporre che:

    m = f'(-1) ⇔ -3 = c(e^(-1)-1)+2 ⇔ c = (-5)/((e^(-1)-1))

    Da qui scopriamo che la derivata prima della funzione è:

    f'(x) = (5e^(1+x)+2x+3 e x)/(e-1)

    A questo punto calcoliamo l'integrale indefinito per determinare la famiglia delle primitive della funzione f'(x)

    f(x) = ∫ (5e^(1+x)+2x+3e x)/(e-1)dx = (1)/(e-1)∫ 5e^(1+x)+2x+3 exdx =

    = (10 e^(1+x)+2x^2+3 e x^2)/(2(e-1))+d

    Ci rimane da determinare la costande additiva d, e per farlo abbiamo bisogno del punto di tangenza:

    Calcoliamo il punto di tangenza utilizzando l'equazione della retta:

    y = 1-3(-1) = 4 ⇒ P(-1, 4)

     

    La funzione f passa per il punto (-1, 4) quindi dobbiamo imporre la condizione di appartenenza:

    f(-1) = (3(4+e))/(2(e-1))+d

    Poiché f(-1)=4 otteniamo l'equazione:

    (3(4+e))/(2(e-1))+d = 4 ⇒ d = 4-(3(4+e))/(2(e-1)) = (5(e-4))/(2(e-1))

    Abbiamo determinato i parametri che definiscono univocamente la funzione f:

    f(x) = (10 e^(1+x)+2x^2+3 e x^2)/(2(e-1))+(5(e-4))/(2(e-1))

    Se vuoi disegnare la retta e il grafico della funzione: grafici online

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
Le più lette
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Analisi Matematica