Soluzioni
  • Dunque, abbiamo la serie:

    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)!}(x-1)^n

    è una serie di potenze, quindi possiamo calcolare il raggio di convergenza. Definiamo:

    a_n= \frac{(n!)^2}{(2n)!}

    Calcoliamo il rapporto tra  a_{n+1} e a_n

    \frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{\frac{((n+1)!)^2}{(2(n+1))!}}{\frac{(n!)^2}{(2n)!}}=

    =\frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2}\cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!}

    = \left(\frac{(n+1)!}{n!}\right)^2\cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)(2n+1) (2n)!}

    Semplifichiamo in modo opportuno:

    = n^2\cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}=\frac{n^2}{4n^2+6n+2}

    Il limite del rapporto è:

    \lim_{n\to +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to \infty}\frac{n^2}{4n^2+6n+2}= \frac{1}{4}

    Il raggio di convergenza è quindi:

    R= \frac{1}{\frac{1}{4}}=4

    La serie converge se :

    |x-1|<4\iff -4<x-1<4\iff -4+1<x<4+1\iff

    -3<x<5

    A questo punto bisogna studiare la serie agli estremi di questo intervallo, cioè per x=-3 e x=5

    Fin qui tutto chiaro?

    Risposta di Ifrit
  • grande!!! tutto chiaroo
    Risposta di valerioweb2
  • Ok ora studiamo la serie agli estremi dell'intervallo:

    Per x= -3 la serie diventa:

    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)!}(-3-1)^n=

    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)!}(-4)^n

    Non converge perché il limite del termine generale della serie non è infinitesimo (in realtà il limite non esiste! ;) )

    Per x=5 la serie si riscrive come:

    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)!}(5-1)^n=

    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)!}4^n

    Ora osserva che il termine generale della serie non è infinitesimo quindi viene meno la condizione necessaria per la convergenza. 

    Infatti il limite:

    \lim_{n\to +\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)!}4^n= +\infty

    Per mostrarlo puoi ricorrere alla stima asintotica del fattoriale:

    m!\sim_{\infty}\sqrt{2\pi m}\left(\frac{m}{e}\right)^m

    Il limite con questa approssimazione diventa (dopo svariate semplificazioni):

    \lim_{n\to +\infty}\sqrt{n}\sqrt{\pi}=+\infty

    Quindi possiamo asserire che l'intervallo di convergenza è:

    I= (-3, 5)

    Adesso passiamo alla convergenza uniforme. Poiché siamo di fronte ad una serie di potenze allora ci vengono in soccorso i teoremi che la riguardano, in particolare converge uniformemente in tutti gli insiemi del tipo:

    |x-1|\le \rho

    con 0<\rho<4

    Risposta di Ifrit
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