Convergenza puntuale e uniforme di una serie di potenze con fattoriali

Come posso studiare la convergenza puntuale e uniforme di questa serie di potenze con i fattoriali?

Σ_(n = 1)^(∞)((n!)^2)/((2n)!)(x-1)^n

Vi ringrazio! :)

Domanda di valerioweb2
Soluzioni

Dunque, abbiamo la serie:

Σ_(n = 1)^(∞)((n!)^2)/((2n)!)(x-1)^n

è una serie di potenze, quindi possiamo calcolare il raggio di convergenza. Definiamo:

a_n = ((n!)^2)/((2n)!)

Calcoliamo il rapporto tra  a_(n+1) e a_n

(a_(n+1))/(a_n) = ((((n+1)!)^2)/((2(n+1))!))/(((n!)^2)/((2n)!)) =

= (((n+1)!)^2)/((n!)^2)·((2n)!)/((2n+2)!)

= (((n+1)!)/(n!))^2·((2n)!)/((2n+2)(2n+1) (2n)!)

Semplifichiamo in modo opportuno:

= n^2·(1)/((2n+2)(2n+1)) = (n^2)/(4n^2+6n+2)

Il limite del rapporto è:

lim_(n → +∞)(a_(n+1))/(a_n) = lim_(n → ∞)(n^2)/(4n^2+6n+2) = (1)/(4)

Il raggio di convergenza è quindi:

R = (1)/((1)/(4)) = 4

La serie converge se :

|x-1| < 4 ⇔ -4 < x-1 < 4 ⇔ -4+1 < x < 4+1 ⇔

-3 < x < 5

A questo punto bisogna studiare la serie agli estremi di questo intervallo, cioè per x=-3 e x=5

Fin qui tutto chiaro?

Risposta di Ifrit

grande!!! tutto chiaroo

Risposta di valerioweb2

Ok ora studiamo la serie agli estremi dell'intervallo:

Per x= -3 la serie diventa:

Σ_(n = 1)^(∞)((n!)^2)/((2n)!)(-3-1)^n =

Σ_(n = 1)^(∞)((n!)^2)/((2n)!)(-4)^n

Non converge perché il limite del termine generale della serie non è infinitesimo (in realtà il limite non esiste! ;) )

Per x=5 la serie si riscrive come:

Σ_(n = 1)^(∞)((n!)^2)/((2n)!)(5-1)^n =

Σ_(n = 1)^(∞)((n!)^2)/((2n)!)4^n

Ora osserva che il termine generale della serie non è infinitesimo quindi viene meno la condizione necessaria per la convergenza. 

Infatti il limite:

lim_(n → +∞)((n!)^2)/((2n)!)4^n = +∞

Per mostrarlo puoi ricorrere alla stima asintotica del fattoriale:

m! ~ _(∞)√(2π m)((m)/(e))^m

Il limite con questa approssimazione diventa (dopo svariate semplificazioni):

lim_(n → +∞)√(n)√(π) = +∞

Quindi possiamo asserire che l'intervallo di convergenza è:

I = (-3, 5)

Adesso passiamo alla convergenza uniforme. Poiché siamo di fronte ad una serie di potenze allora ci vengono in soccorso i teoremi che la riguardano, in particolare converge uniformemente in tutti gli insiemi del tipo:

|x-1| ≤ ρ

con 0 < ρ < 4

Risposta di Ifrit

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