Soluzioni
  • Ciao saso03 arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • * abbiamo la base compresa tra 0 e 1
    Risposta di saso03
  • Un trucco potrebbe essere quello di esprimere 

    \log_x(f(x))= \frac{\ln(f(x))}{\ln(x)}

    tramite le formule del cambiamento di base del logaritmo e poi risolvere la disequazione. Cosa ne pensi? 

    Risposta di Ifrit
  • Forte, non ci avevo pensato... Quindi se io ho tipo log a base x di (x+1)/(x-2) maggiore uguale a 1
    Risposta di saso03
  • Naturalmente quello è l'argomento
    Risposta di saso03
  • Abbiamo che:

    \log_x\left(\frac{x+1}{x-2}\right)\textgreater 1

    Ora utilizzando la formula che abbiamo scritto prima:

    \frac{\ln\left(\frac{x+1}{x-2}\right)}{\ln(x)}\textgreater 1

    Da qui determini il campo d'esistenza della disequazione dato dalle condizioni:

    \begin{cases}\frac{x+1}{x-2}\textgreater 0\\ x\textgreater 0\\ \ln(x)\ne 0\end{cases}

    Risolvendo il sistema hai che:

    C.E= x>2

    Portiamo al primo membro 1:

    \frac{\ln\left(\frac{x+1}{x-2}\right)}{\ln(x)}-1\textgreater 0

    Minimo comune multiplo:

    \frac{\ln\left(\frac{x+1}{x-2}\right)-\ln(x)}{\ln(x)}\textgreater 0

     

    A questo punto studi separatamente i segni del numeratore e del denominatore:

    \ln\left(\frac{x+1}{x-2}\right)-\ln(x)\textgreater 0

    se e solo se:

    \ln\left(\frac{x+1}{x-2}\right)\textgreater \ln(x)

    Applico membro a membro l'esponenziale:

    \frac{x+1}{x-2}\textgreater x

    da cui:

    \frac{x+1-x^2+2x}{x-2}\textgreater 0

    Ora

    \frac{3x+1-x^2}{x-2}>0

    A questo punto dovresti studiare separatamente il segno del numeratore e del denominatore:

    3x+1-x^2>0

    ha per soluzioni:

    \frac{1}{2}\left(3-\sqrt{13}\right)<x<\frac{1}{2}\left(3+\sqrt{11}\right)

     

    mentre il denominatore 

    x-1>0

    ha per soluzione

    x>1

     

    Tabulando i segni e tenendo conto del calpo d'esistenza, abbiamo che l'insieme soluzione è:

    2<x< \frac{1}{2}(3+\sqrt{11})

     

    Ti prego di controllare i conti. Purtroppo ho corretto molte volte quindi qualche svista può capitare :|

    Risposta di Ifrit
  • Ottimo ;-) ora mi faccio i conti... Quindi basta usare sempre la formula del cambiamento di base?
    Risposta di saso03
  • Sì, è un buon trucco :D

    Controlla i conti mi raccomando xD

     

    Risposta di Ifrit
 
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