convergenza serie di funzioni

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Ciao YM! dovrei studiare la convergenza (puntuale, uniforme e totale) della seguente serie:

sum_(n=1)^infinity((n+1) (x-1)^n)/(x+2)^(n+1)
Domanda di Alessandro

 
Soluzioni

  • Ciao Alessandro, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • scusate la serie è stata scritta su un noto calcolatore pensando che la potesse vedere bene; ve la riscrivo:

    serie da 1 a +infinito cn argomento ( (n+1)*((x-1)^n)/(x+2)^(n+1)

    spero d essere chiaro

    Risposta di Alessandro

  • Per studiare tutti i tipi possibili e immaginabili Laughing di convergenze della serie di funzioni

    Σ_(n = 1)^(+∞)((n+1)(x-1)^n)/((x+2)^(n+1))

    fai così: riscrivi la serie nella forma

    Σ_(n = 1)^(+∞)((n+1)(x-1)^n)/((x+2)(x+2)^(n))

    e poi

    (1)/(x+2)Σ_(n = 1)^(+∞)((n+1)(x-1)^n)/((x+2)^(n))

    ed infine

    (1)/(x+2)Σ_(n = 1)^(+∞)(n+1)((x-1)/(x+2))^n

    Ora sostituisci

    z = (x-1)/(x+2)

    di modo da ricondurti alla serie geometrica

    Σ_(n = 1)^(+∞)(n+1)z^n

    Serie geometrica? Quasi: lasciando perdere il fattore 1/(x+2), se ci limitiamo a quest'ultima serie possiamo osservare che

    Σ_(n = 1)^(+∞)(n+1)z^n = (Σ_(n = 0)^(+∞)z^n)'

    per cui potrebbe tornarti molto utile il teorema di derivazione sotto il segno di sommatoria, se la serie considerata ne soddisfa le ipotesi (il che vuol dire: "dove" ne soddisfa le ipotesi).

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • svolgendo la derivata ottengo una f(x)...e a cosa corrisponde? non riesco a collegarla cn la convergenza

    Risposta di Alessandro

  • Non puoi e non devi svolgere la derivata a priori, e non devi derivare nulla all'inizio...

    Vediamo di intenderci: mi sai dire per quali valori di z la serie

    Σ_(n = 0)^(1)z^n

    converge puntualmente, assolutamente, totalmente? 

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • si tratta di serie geometrica e converge se il lim all'infinito dell'argomento vale 0, con

    z€ )-1,1( , e quindi?

    Risposta di Alessandro

  • Quindi se sai individuare il raggio di convergenza della serie geometrica e ne conosci la somma, per il teorema di derivazione per serie di funzioni sai automaticamente che la serie delle derivate converge alla derivata della somma della serie (all'interno del raggio di convergenza - in particolare il raggio di convergenza della serie e della serie delle derivate coincidono).

    Dopo aver individuato il raggio di convergenza della serie (per noi, la serie delle derivate) è un gioco da ragazzi applicare la trasformazione

    z = (x-1)/(x+2)

    e individuare l'insieme di convergenza per la serie rispetto a x.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • il raggio di convergenza è 1 quindi converge puntualmente in (-1,1) vero? e per la convergenza totale e uniforme?

     

    Risposta di Alessandro

  • Se intendi che converge puntualmente in (-1,+1) la serie geometrica in z, allora sì Wink

    Per la convergenza uniforme, essendo il raggio di convergenza della serie in z

    r = 1

    abbiamo convergenza uniforme per ogni |z| ≤ r_1 < 1.

    Per la convergenza totale, è sufficiente applicare la definizione: la serie converge totalmente se esiste una serie numerica 

    Σc_n

    tale da essere convergente e tale per cui |z^n| ≤ c_n

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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