Soluzioni
  • Abbiamo l'equazione generica della parabola 

    P : y=ax^2+bx+c

    Sappiamo inoltre che  passa per il punto

    A\left(1, \frac{3}{2}\right)

    ed ha per vertice:

    V\left(3, \frac{7}{2}\right)

    Scriviamo l'equazione della parabola passante per il vertice:

    y-y_V= a (x-x_V)^2

    da cui otteniamo:

    y-\frac{7}{2}= a(x-3)^2

    Dobbiamo determinare a, imponendo il passaggio nel punto A

    \frac{3}{2}-\frac{7}{2}= a(1-3)^2

    Da cui:

    -2= a(-2)^2\iff -2= 4a

    da cui otteniamo:

    a= -\frac{1}{2}

    L'equazione della parabola è quindi:

    y-\frac{7}{2}= -\frac{1}{2}(x-3)^2

    che scritta in forma canonica è:

    y=-\frac{x^2}{2}+3x-1

    Infine per determinare la lungezza della corda, impostiamo il sistema:

    \begin{cases}y=-\frac{x^2}{2}+3x-1\\ y=-2\end{cases}

    Da cui otteniamo, per sostituzione, l'equazione risolvente:

    -2= -\frac{x^2}{2}+3x-1

    A questo punto risolviamo l'equazione:

    \frac{x^2}{2}-3x+1-2=0

    \frac{x^2}{2}-3x-1=0

    Facciamo il minimo comune multiplo:

    \frac{x^2-6x-2}{2}=0

    Quindi l'equazione diventa:

    x^2-6x-2=0

    Le cui soluzioni sono:

    x_1= 3-\sqrt{11}\,\,\, x_2=3+\sqrt{11}

    Gli estremi della corda sono quindi:

    P_1(3-\sqrt{11}, -2)\,\, P_2(3+\sqrt{11}, -2)

    Calcolando la distanza tra i due punti abbiamo la lunghezza della corda:

    L=\sqrt{(3-\sqrt{11}-3-\sqrt{11})^2+(-2+2)^2}= 2\sqrt{11}

    La lunghezza della corda è quindi 

    L= 2\sqrt{11}

    Risposta di Ifrit
 
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