Soluzioni
  • Ciao ilcommodoro arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo l'integrale:

    \int \frac{x^2}{x^2+4}dx

    E' l'integrale di una funzione razionale fratta con il grado del polinomio numeratore è uguale al grado del polinomio denominatore. Procediamo con un trucchetto algebrico, sommiamo e sottraiamo 4 al numeratore:

    \int \frac{x^2+4-4}{x^2+4}dx=

    \int \frac{x^2+4}{x^2+4}-\frac{4}{x^2+4}dx=

    \int 1-\frac{4}{x^2+4}dx=

    Sfruttiamo la linearità dell'integrale:

    \int dx-\int\frac{4}{x^2+4}dx=

    Il primo integrale è immediato, il secondo invece è riconducibile ad uno noto:

    x-4\int \frac{1}{x^2+4}dx=

    A questo punto mettiamo in evidenza 4 al denominatore:

    x-4\int \frac{1}{4\cdot \left(\frac{x^2}{4}+1\right)}dx=

    x-\frac{4}{4}\int \frac{1}{\frac{x^2}{4}+1}dx=

    x-\int \frac{1}{\left(\frac{x}{2}\right)^2+1}dx=

    A questo punto poniamo:

    t=\frac{x}{2}\implies dt=\frac{dx}{2}\implies dx= 2dt

    l'integrale diventa:

    x-\int \frac{1}{t^2+1}\cdot 2dt=

    x-2\int \frac{1}{t^2+1}dt=

    x-2\arctan(t)+c

    ma t=x/2 abbiamo:

    \int \frac{x^2}{x^2+4}dx=x-2\arctan\left(\frac{x}{2}\right)+c

    Finito :D

    Risposta di Ifrit
 
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