Soluzioni
  • L'esercizio chiede di determinare il numero di soluzioni dell'equazione trascendente

    \ln(x)+x^2+x=0

    (e non le soluzioni, attenzione!)

    Esistono sostanzialmente due strade percorribili per la risoluzione di questo esercizio: una puramente geometrica e l'altra analitica. Poiché l'equazione non presenta termini particolarmente elaborati proporremo entrambi i metodi partendo da quello grafico.

    Metodo grafico

    Risolvere l'equazione

    \ln(x)+x^2+x=0

    equivale a risolvere

    \ln(x)=-x^2-x

    il che graficamente significa cercare i punti di intersezione dei grafici delle funzioni

    \\ g(x)=\ln(x) \\ \\ h(x)=-x^2-x

    Tra le altre cose disegnare i grafici di queste due funzioni non è compito arduo e per fortuna non è richiesto alcuno studio di funzione.

    Osserviamo infatti che conosciamo il grafico della funzione logaritmica g(x)=\ln(x), essendo essa una funzione elementare.

    La seconda funzione ha per grafico una parabola concava con vertice nel punto \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right) e passante per i punti (0,0) e (-1, 0).

    Rappresentando le due funzione ci accorgiamo subito che esse si intersecano in un solo punto (a tal proposito puoi utilizzare il tool online per disegnare il grafico di funzioni).

    In generale, nel caso in cui le funzioni in gioco non fossero elementari sarà necessario eseguire uno studio di funzione per entrambe così da ottenere un andamento qualitativo e poter rappresentare i loro grafici. Se le espressioni delle funzioni lo consentono, potremo inoltre utilizzare le regole per il grafico immediato.

    Metodo analitico

    Il metodo analitico consiste nell'utilizzare risultati noti della teoria riguardante le funzioni continue e derivabili. A conti fatti non esiste una procedura standard che racchiuda tutte le casistiche possibili: è necessario conoscere bene tutti i risultati teorici e usarli in modo appropriato. Di seguito mostreremo che l'equazione

    \ln(x)+x^2+x=0

    ammette un'unica soluzione invocando il teorema dei valori intermedi

    Consideriamo la funzione

    f(x)=\ln(x)+x^2+x

    e determiniamone il dominio. Il logaritmo pretende che il suo argomento sia positivo, ossia

    x>0

    e il dominio della funzione è pertanto

    \mbox{dom}(f)=(0, +\infty)

    Sottolineiamo che f(x) è una funzione continua nel dominio perché composizione di funzioni continue, inoltre

    \\ \lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim_{x\to 0^{+}}[\ln(x)+x^2+x]=-\infty =\inf_{x\in\mbox{dom}(f)} f(x)\\ \\ \\ \lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}[\ln(x)+x^2+x]=+\infty=\sup_{x\in \mbox{dom}(f)}f(x)

    e dunque, per il teorema dei valori intermedi,  f(x) assume tutti i valori compresi tra il suo estremo inferiore e estremo superiore, o detto in altri termini per ogni y_0\in (-\infty, +\infty) esiste x_0\in\mbox{dom}(f) tale che f(x_0)=y_0.

    Ciò vale, in particolare per y_0=0 pertanto esiste x_0\in\mbox{dom}(f) tale che f(x_0)=0.

    In definitiva, abbiamo usato il teorema dei valori intermedi per mostrate che l'equazione

    \ln(x)+x^2+x=0

    ammette almeno una soluzione. Possiamo fare di più, possiamo dimostrare l'unicità della soluzione dimostrando che f(x) è una funzione monotona. A tal proposito calcoliamo la derivata prima di f(x) mediante la regola di derivazione della somma

    \\ f'(x)=\frac{d}{dx}[f(x)]=\\ \\ \\ =\frac{d}{dx}[\ln(x)+x^2+x]=\\ \\ \\ =\frac{d}{dx}[\ln(x)]+\frac{d}{dx}[x^2]+\frac{d}{dx}[x]=

    e calcolando le derivate fondamentali otteniamo

    \\ =\frac{1}{x}+2x+1= \\ \\ \\ = \frac{2x^2+x+1}{x}

    Per x>0 la derivata prima è positiva perché quoziente di quantità positive, pertanto f(x) è monotona strettamente crescente nell'intervallo (0,+\infty). La stretta monotonia ci permette di concludere che x_0 è l'unica soluzione dell'equazione data.

    Risposta di Ifrit
 
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