Soluzioni
  • Ciao lunabye arrivo :D

    Però risolvo solo la prima :P 

    Risposta di Ifrit
  • \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^7\tan\left(\pi -\frac{1}{n^{\frac{7}{2}}}\right)}{n^{\gamma}+\sin(n^{\gamma})}

    A causa della periodicità della tangente abbiamo che:

    \tan\left(\pi -\frac{1}{n^{\frac{7}{2}}}\right)= -\tan\left(\frac{1}{n^{\frac{7}{2}}}\right)

    Quindi la serie si riscrive come:

    -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^7\tan\left(\frac{1}{n^{\frac{7}{2}}}\right)}{n^{\gamma}+\sin(n^{\gamma})}

     

    Per le stime asintotiche abbiamo inoltre che:

    \tan\left(\frac{1}{n^{\frac{7}{2}}}\right)\sim_{\infty} \frac{1}{n^{\frac{7}{2}}}

    Ora la faccenda si complica, per caso sappiamo in quale insieme varia \gamma?

    Risposta di Ifrit
  • era appartenente a R + stella

     

    Risposta di lunabye
  • Ti prego di scusarmi per il ritardo, purtroppo ho avuto un contrattempo e quindi non ho potuto rispondere prima. 

     

    Siamo arrivati a dire che:

    \tan\left(\frac{1}{n^{\frac{7}{2}}}\right)\sim_{\infty}\frac{1}{n^{\frac{7}{2}}}

    di conseguenza il numeratore è asintotico a:

    n^7\tan\left(\frac{1}{n^{\frac{7}{2}}}\right)\sim_{\infty}\frac{n^7}{n^{\frac{7}{2}}}= n^{\frac{7}{2}}

    Il denominatore invece:

    n^{\gamma}+\sin(n^{\gamma})\sim_{\infty} n^{\gamma}

    Quindi il termine generale della serie è asintotica a:

    \frac{n^{\frac{7}{2}}}{n^{\gamma}}= \frac{1}{n^{\gamma-\frac{7}{2}}}

     

    La serie di partenza converge se e solo se converge:

    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\gamma-\frac{7}{2}}}

    Questa è una serie armonica generalizzata di esponente 

    \gamma-\frac{7}{2}

    e converge se l'esponente è maggiore di 1:

    \gamma-\frac{7}{2}\textgreater 1\iff \gamma\textgreater \frac{9}{2}

    Risposta di Ifrit
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