Soluzioni
  • Consideriamo l'espressione con le frazioni algebriche

    \frac{1}{x^2-4x+4}-\frac{2}{x^2-2x}+\frac{1}{x^2-x-2}

    La prima cosa da fare consiste nello scomporre i polinomi a denominatore con le opportune tecniche di fattorizzazione.

    Per fattorizzare il polinomio x^2-4x+4 utilizziamo i prodotti notevoli: per essere più precisi, interviene la regola sul quadrato di un binomio infatti il polinomio dato è il quadrato di x-2 perché x^2 è il quadrato di x, -4x è il doppio prodotto tra x\ \mbox{e} \ -2 e infine 4 è il quadrato di -2.

    x^2-4x+4=(x-2)^2

    Per scomporre il polinomio x^2-2x, bisogna usare la tecnica del raccoglimento totale che prevede di mettere in evidenza i fattori comuni a entrambi i termini che compongono il polinomio.

    x^2-2x=x(x-2)

    Usiamo infine la regola di scomposizione dei trinomi notevoli per fattorizzare x^2-x-2: essa prevede di determinare due numeri interi A\ \mbox{e} \ B la cui somma coincida con il coefficiente di x e il cui prodotto sia uguale al termine noto. In altre parole, ricerchiamo A\ \mbox{e} \ B di modo che

    A+B=-1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ A\cdot B=-2

    Andando un po' per tentativi, scopriamo che i numeri in questione sono A=-2\ \mbox{e} \ B=1, di conseguenza siamo autorizzati a scrivere la seguente uguaglianza:

    x^2-x-2=(x+A)(x+B)=(x-2)(x+1)

    Dopo aver fattorizzato i polinomi a denominatore, bisogna ricavare i vincoli cui deve sottostare x affinché l'espressione abbia significato, ossia dobbiamo imporre le condizioni di esistenza!

    Per fare in modo che l'espressione non perda di significato, richiediamo che i denominatori siano non nulli e ciò avviene se e solo se ciascun fattore delle loro scomposizioni sia diverso da zero.

    Il primo denominatore è non nullo se e solo se x\ne 2 infatti:

    x^2-4x+4\ne 0 \ \ \ \to \ \ \  (x-2)^2\ne 0

    Ricordando che una potenza è diversa da zero se e solo se la base è diversa da zero, possiamo scrivere i seguenti passaggi:

    x-2\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 2

    La non nullità del secondo denominatore è garantita se e solo se x\ne 0 \ \mbox{e} \ x\ne 2, infatti:

    x^2-2x\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 0 \ \ \wedge \ \ (x-2)\ne 0

    dove \wedge è il connettivo logico che indica la congiunzione "e". Dalle relazioni precedenti seguono:

    x\ne 0 \ \ \ \wedge \ \ \ x\ne 2

    Infine, il terzo denominatore è non nullo se e solo se x\ne 2 \ \mbox{e} \ x\ne -1, infatti:

    x^2-x-2\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x-2\ne 0 \ \ \wedge \ \ x+1\ne 0

    da cui

    x\ne 2 \ \ \ \wedge \ \ \ x\ne -1

    Riportiamo, ora, le condizioni ricavate una di seguito all'altra, senza ripetizioni e separate da \wedge

    C.E.: \ x\ne -1 \ \ \ \wedge\ \ \ x\ne 0 \ \ \ \wedge \ \ \ x\ne 2

    Una volta determinate le condizioni di esistenza, possiamo procedere con i passaggi algebrici.

    \frac{1}{x^2-4x+4}-\frac{2}{x^2-2x}+\frac{1}{x^2-x-2}=

    Rimpiazziamo i polinomi a denominatore con le rispettive scomposizioni

    =\frac{1}{(x-2)^2}-\frac{2}{x(x-2)}+\frac{1}{(x+1)(x-2)}=

    calcoliamo il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore per esprimere le frazioni algebriche a denominatore comune:

    =\frac{x(x+1)-2(x-2)(x+1)+x(x-2)}{x(x-2)^2(x+1)}=

    Svolgiamo con molta attenzione i prodotti usando la regola dei segni, se la situazione lo richiede:

    \\=\frac{x^2+x-2(x^2+x-2x-2)+x^2-2x}{x(x-2)^2(x+1)}= \\ \\ \\ =\frac{x^2+x-2(x^2-x-2)+x^2-2x}{x(x-2)^2(x+1)}=\\ \\ \\ =\frac{x^2+x-2x^2+2x+4+x^2-2x}{x(x-2)^2(x+1)}=

    portiamo a termine i calcoli, sommando tra loro i monomi simili, e scriviamo infine il risultato

    =\frac{x+4}{x(x+1)(x-2)^2}

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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