Valori di un parametro e tipo di luogo geometrico

Potrestre aiutarmi con questo problema? Ho un'equazione parametrica e devo determinare i valori del parametro in modo che individuino un certo tipo di luogo geometrico...Grazie! :D

 

Stabilisci per quali valori del parametro reale k l'equazione

(x^2)/(2k+1)+(y^2)/(3−k) = 1

rappresenta:

a. un'ellisse;

b. una circonferenza;

c. un'ellisse con i fuochi sull'asse y;

d. un'ellisse di eccentricità 1/2.

Posto poi k=1 e k=0, trova l'area del quadrilatero che ha vertici nei punti di intersezione di queste due ellissi.

Domanda di Panzerotta
Soluzioni

Abbiamo l'equazione:

(x^2)/(2k+1)+(y^2)/(3−k) = 1

Affinché questa rappresenti una ellisse dobbiamo richiedere che i denominatori dei coefficienti siano maggiori di zero.

2k+1 > 0 ; 3−k > 0

2k > −1 ;−k > −3

k > −(1)/(2) ; k < 3

Da cui otteniamo:

−(1)/(2) < k < 3

Affinché sia una circonferenza dobbiamo richiedere che:

2k+1 > 0 ; 3−k > 0 ; 2k+1 = 3−k

Dall'ultima equazione otteniamo:

2k+1 = 3−k ⇔ 3k = 2 ⇔ k = (2)/(3)

Da cui otteniamo l'equazione:

(3)/(7)x^2+(3)/(7)y^2 = 1 ⇔ x^2+y^2 = (7)/(3)

che rappresenta una circonferenza di centro (0, 0) e raggio:

r = √((7)/(3))

Troviamo ora l'ellisse con i fuochi sull'asse Y. Dobbiamo richiedere che:

−(1)/(2) < k < 3 ; 2k+1 < 3−k

Dalla seconda disequazione otteniamo che:

2k+1 < 3−k ⇔ 3k < 2 ⇔ k < (2)/(3)

Quindi −(1)/(2) < k < (2)/(3)

Infine andiamo con l'eccentricità dell'ellisse:

Sappiamo che l'eccentricità è definita come:

e = (distanza focale)/(asse maggiore)

Per

−(1)/(2) < k < (2)/(3)

si ha che i fuchi giacciono sull'asse Y quindi l'asse maggiore misura  2√(3−k)

I fuochi invece hanno coordinate:

F_1(0,−c), F_2(0, c)

con 

c = √(3−k−2k−1) = √(2−3k)

Quindi:

e = (2√(2−3k))/(2√(3−k)) = (1)/(2)

Risolvendo l'equazione avrai due soluzioni una sola dei quali:

k = (5)/(11)

Se (2)/(3) < k < 3 in questo caso abbiamo che i fuochi stanno sull'asse X e hanno coordinate:

F_1(−c, 0), F_2(c, 0)

con 

c = √(2k+1−3+k) = √(4k−2)

dunque imponendo l'equazione:

e = (√(4k−2))/(√(2k+1)) = 1/2 ⇔ k = (9)/(14)

Ora passiamo all'ultima parte, il tempo necessario... ;)

Risposta di Ifrit

Ora per k=0 abbiamo l'ellisse:

x^2+(y^2)/(3) = 1

mentre per k=1

(x^2)/(3)+(y^2)/(2) = 1

Imponiamo il sistema e troviamo i punti di intersezione:

x^2+(y^2)/(3) = 1 ; (x^2)/(3)+(y^2)/(2) = 1

Poniamo

u = x^2 , , , v = y^2

il sistema si riscrive come:

u+(v)/(3) = 1 ; (u)/(3)+(v)/(2) = 1

Isoliamo u dalla prima equazione:

u = 1−(v)/(3) ; (u)/(3)+(v)/(2) = 1

Sostituiamo nella seconda equazione:

u = 1−(v)/(3) ; (1−(v)/(3))/(3)+(v)/(2) = 1

Otteniamo:

u = 1−(v)/(3) ; (1)/(3)+(7)/(18) v = 1

da cui risolvendo rispetto a v:

v = (12)/(7)

sostituendo nella prima equazione abbiamo:

u = 1−((12)/(7))/(3) = (3)/(7)

Quindi

x^2 = (3)/(7) ⇔ x = ±√((3)/(7))

inoltre

v = (12)/(7) ⇔ y^2 = (12)/(7) ⇔ y = ±√((12)/(7))

I punti di intersezione sono:

A_1(−√((3)/(7)),−√((12)/(7)))

A_2(−√((3)/(7)),+√((12)/(7)))

A_3(+√((3)/(7)),+√(−(12)/(7)))

A_4(+√((3)/(7)),−√((12)/(7)))

Sono i vertici di un rettangolo. A questo punto calcola la distanza tra i due punti A1 e A4 sarà la base:

b = 2√((3)/(7))

L'altezza è data dalla distanza tra i punti A4 e A3

h = 2√((12)/(7))

Dunque l'area del rettangolo è

A = b×h = (24)/(7)

Risposta di Ifrit

Domande della categoria Superiori - Geometria
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