Valori di un parametro e tipo di luogo geometrico

Potrestre aiutarmi con questo problema? Ho un'equazione parametrica e devo determinare i valori del parametro in modo che individuino un certo tipo di luogo geometrico...Grazie! :D

Stabilisci per quali valori del parametro reale k l'equazione

rappresenta:

a. un'ellisse;

b. una circonferenza;

c. un'ellisse con i fuochi sull'asse y;

d. un'ellisse di eccentricità 1/2.

Posto poi k=1 e k=0, trova l'area del quadrilatero che ha vertici nei punti di intersezione di queste due ellissi.

Domanda di Panzerotta

Soluzioni

Abbiamo l'equazione:
Affinché questa rappresenti una ellisse dobbiamo richiedere che i denominatori dei coefficienti siano maggiori di zero.
Da cui otteniamo:
Affinché sia una circonferenza dobbiamo richiedere che:
Dall'ultima equazione otteniamo:
Da cui otteniamo l'equazione:
che rappresenta una circonferenza di centro (0, 0) e raggio:

Troviamo ora l'ellisse con i fuochi sull'asse Y. Dobbiamo richiedere che:
Dalla seconda disequazione otteniamo che:
Quindi
Infine andiamo con l'eccentricità dell'ellisse:
Sappiamo che l'eccentricità è definita come:
Per
si ha che i fuchi giacciono sull'asse Y quindi l'asse maggiore misura
I fuochi invece hanno coordinate:
con

Quindi:
Risolvendo l'equazione avrai due soluzioni una sola dei quali:

Se in questo caso abbiamo che i fuochi stanno sull'asse X e hanno coordinate:
con
dunque imponendo l'equazione:

Ora passiamo all'ultima parte, il tempo necessario... ;)
Risposta di Ifrit
Ora per k=0 abbiamo l'ellisse:
mentre per k=1
Imponiamo il sistema e troviamo i punti di intersezione:
Poniamo
il sistema si riscrive come:
Isoliamo u dalla prima equazione:
Sostituiamo nella seconda equazione:
Otteniamo:
da cui risolvendo rispetto a v:
sostituendo nella prima equazione abbiamo:
Quindi
inoltre
I punti di intersezione sono:
Sono i vertici di un rettangolo. A questo punto calcola la distanza tra i due punti A1 e A4 sarà la base:
L'altezza è data dalla distanza tra i punti A4 e A3
Dunque l'area del rettangolo è
Risposta di Ifrit