Soluzioni
  • Abbiamo l'equazione:

    \frac{x^2}{2k+1}+\frac{y^2}{3-k}=1

    Affinché questa rappresenti una ellisse dobbiamo richiedere che i denominatori dei coefficienti siano maggiori di zero.

    \begin{cases}2k+1\textgreater 0\\ 3-k\textgreater 0\end{cases}

    \begin{cases}2k\textgreater -1\\ -k\textgreater -3\end{cases}

    \begin{cases}k\textgreater-\frac{1}{2}\\ k\textless 3\end{cases}

    Da cui otteniamo:

    -\frac{1}{2}\textless k\textless 3

    Affinché sia una circonferenza dobbiamo richiedere che:

    \begin{cases}2k+1\textgreater 0\\ 3-k\textgreater 0\\ 2k+1= 3-k\end{cases}

    Dall'ultima equazione otteniamo:

    2k+1=3-k\iff 3k= 2\iff k=\frac{2}{3}

    Da cui otteniamo l'equazione:

    \frac{3}{7}x^2+\frac{3}{7}y^2=1\iff x^2+y^2= \frac{7}{3}

    che rappresenta una circonferenza di centro (0, 0) e raggio:

    r= \sqrt{\frac{7}{3}}

     

    Troviamo ora l'ellisse con i fuochi sull'asse Y. Dobbiamo richiedere che:

    \begin{cases}-\frac{1}{2}\textless k\textless 3\\ 2k+1\textless 3-k\end{cases}

    Dalla seconda disequazione otteniamo che:

    2k+1\textless 3-k\iff 3k\textless 2\iff k\textless \frac{2}{3}

    Quindi -\frac{1}{2}\textless k\textless \frac{2}{3}

    Infine andiamo con l'eccentricità dell'ellisse:

    Sappiamo che l'eccentricità è definita come:

    e=\frac{\mbox{distanza focale }}{\mbox{ asse maggiore}}

    Per

    -\frac{1}{2}\textless k\textless \frac{2}{3}

    si ha che i fuchi giacciono sull'asse Y quindi l'asse maggiore misura  2\sqrt{3-k}

    I fuochi invece hanno coordinate:

    F_1(0, -c), F_2(0, c)

    con 

    c=\sqrt{3-k- 2k-1}=\sqrt{2-3k}

     

    Quindi:

    e= \frac{2\sqrt{2-3k}}{2\sqrt{3-k}}= \frac{1}{2}

    Risolvendo l'equazione avrai due soluzioni una sola dei quali:

    k=\frac{5}{11}

     

    Se \frac{2}{3}\textless k\textless 3 in questo caso abbiamo che i fuochi stanno sull'asse X e hanno coordinate:

    F_1(-c, 0), F_2(c, 0)

    con 

    c=\sqrt{2k+1-3+k}= \sqrt{4k-2}

    dunque imponendo l'equazione:

    e= \frac{\sqrt{4k-2}}{\sqrt{2k+1}}=1/2\iff k=\frac{9}{14}

     

    Ora passiamo all'ultima parte, il tempo necessario... ;)

    Risposta di Ifrit
  • Ora per k=0 abbiamo l'ellisse:

    x^2+\frac{y^2}{3}=1

    mentre per k=1

    \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1

    Imponiamo il sistema e troviamo i punti di intersezione:

    \begin{cases}x^2+\frac{y^2}{3}=1\\ \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\end{cases}

    Poniamo

    u= x^2\,\,\, v=y^2

    il sistema si riscrive come:

    \begin{cases}u+\frac{v}{3}=1\\ \frac{u}{3}+\frac{v}{2}=1\end{cases}

    Isoliamo u dalla prima equazione:

    \begin{cases}u=1-\frac{v}{3}\\ \frac{u}{3}+\frac{v}{2}=1\end{cases}

    Sostituiamo nella seconda equazione:

    \begin{cases}u=1-\frac{v}{3}\\ \frac{1-\frac{v}{3}}{3}+\frac{v}{2}=1\end{cases}

    Otteniamo:

    \begin{cases}u=1-\frac{v}{3}\\ \frac{1}{3}+\frac{7}{18} v=1\end{cases}

    da cui risolvendo rispetto a v:

    v=\frac{12}{7}

    sostituendo nella prima equazione abbiamo:

    u= 1-\frac{\frac{12}{7}}{3}=\frac{3}{7}

    Quindi

    x^2= \frac{3}{7}\iff x=\pm\sqrt{\frac{3}{7}}

    inoltre

    v= \frac{12}{7}\iff y^2= \frac{12}{7}\iff y=\pm \sqrt{\frac{12}{7}}

    I punti di intersezione sono:

    A_1\left(-\sqrt{\frac{3}{7}}, -\sqrt{\frac{12}{7}}\right)

    A_2\left(-\sqrt{\frac{3}{7}}, +\sqrt{\frac{12}{7}}\right)

    A_3\left(+\sqrt{\frac{3}{7}}, +\sqrt{-\frac{12}{7}}\right)

    A_4\left(+\sqrt{\frac{3}{7}}, -\sqrt{\frac{12}{7}}\right)

    Sono i vertici di un rettangolo. A questo punto calcola la distanza tra i due punti A1 e A4 sarà la base:

    b= 2\sqrt{\frac{3}{7}}

    L'altezza è data dalla distanza tra i punti A4 e A3

    h=2\sqrt{\frac{12}{7}}

    Dunque l'area del rettangolo è

    A= b\times h=\frac{24}{7}

    Risposta di Ifrit
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