Soluzioni
  • Abbiamo l'equazione:

    (x^2)/(2k+1)+(y^2)/(3-k) = 1

    Affinché questa rappresenti una ellisse dobbiamo richiedere che i denominatori dei coefficienti siano maggiori di zero.

    2k+1 > 0 ; 3-k > 0

    2k > -1 ;-k > -3

    k > -(1)/(2) ; k < 3

    Da cui otteniamo:

    -(1)/(2) < k < 3

    Affinché sia una circonferenza dobbiamo richiedere che:

    2k+1 > 0 ; 3-k > 0 ; 2k+1 = 3-k

    Dall'ultima equazione otteniamo:

    2k+1 = 3-k ⇔ 3k = 2 ⇔ k = (2)/(3)

    Da cui otteniamo l'equazione:

    (3)/(7)x^2+(3)/(7)y^2 = 1 ⇔ x^2+y^2 = (7)/(3)

    che rappresenta una circonferenza di centro (0, 0) e raggio:

    r = √((7)/(3))

     

    Troviamo ora l'ellisse con i fuochi sull'asse Y. Dobbiamo richiedere che:

    -(1)/(2) < k < 3 ; 2k+1 < 3-k

    Dalla seconda disequazione otteniamo che:

    2k+1 < 3-k ⇔ 3k < 2 ⇔ k < (2)/(3)

    Quindi -(1)/(2) < k < (2)/(3)

    Infine andiamo con l'eccentricità dell'ellisse:

    Sappiamo che l'eccentricità è definita come:

    e = (distanza focale)/(asse maggiore)

    Per

    -(1)/(2) < k < (2)/(3)

    si ha che i fuchi giacciono sull'asse Y quindi l'asse maggiore misura  2√(3-k)

    I fuochi invece hanno coordinate:

    F_1(0,-c), F_2(0, c)

    con 

    c = √(3-k-2k-1) = √(2-3k)

     

    Quindi:

    e = (2√(2-3k))/(2√(3-k)) = (1)/(2)

    Risolvendo l'equazione avrai due soluzioni una sola dei quali:

    k = (5)/(11)

     

    Se (2)/(3) < k < 3 in questo caso abbiamo che i fuochi stanno sull'asse X e hanno coordinate:

    F_1(-c, 0), F_2(c, 0)

    con 

    c = √(2k+1-3+k) = √(4k-2)

    dunque imponendo l'equazione:

    e = (√(4k-2))/(√(2k+1)) = 1/2 ⇔ k = (9)/(14)

     

    Ora passiamo all'ultima parte, il tempo necessario... ;)

    Risposta di Ifrit
  • Ora per k=0 abbiamo l'ellisse:

    x^2+(y^2)/(3) = 1

    mentre per k=1

    (x^2)/(3)+(y^2)/(2) = 1

    Imponiamo il sistema e troviamo i punti di intersezione:

    x^2+(y^2)/(3) = 1 ; (x^2)/(3)+(y^2)/(2) = 1

    Poniamo

    u = x^2 , , , v = y^2

    il sistema si riscrive come:

    u+(v)/(3) = 1 ; (u)/(3)+(v)/(2) = 1

    Isoliamo u dalla prima equazione:

    u = 1-(v)/(3) ; (u)/(3)+(v)/(2) = 1

    Sostituiamo nella seconda equazione:

    u = 1-(v)/(3) ; (1-(v)/(3))/(3)+(v)/(2) = 1

    Otteniamo:

    u = 1-(v)/(3) ; (1)/(3)+(7)/(18) v = 1

    da cui risolvendo rispetto a v:

    v = (12)/(7)

    sostituendo nella prima equazione abbiamo:

    u = 1-((12)/(7))/(3) = (3)/(7)

    Quindi

    x^2 = (3)/(7) ⇔ x = ±√((3)/(7))

    inoltre

    v = (12)/(7) ⇔ y^2 = (12)/(7) ⇔ y = ±√((12)/(7))

    I punti di intersezione sono:

    A_1(-√((3)/(7)),-√((12)/(7)))

    A_2(-√((3)/(7)),+√((12)/(7)))

    A_3(+√((3)/(7)),+√(-(12)/(7)))

    A_4(+√((3)/(7)),-√((12)/(7)))

    Sono i vertici di un rettangolo. A questo punto calcola la distanza tra i due punti A1 e A4 sarà la base:

    b = 2√((3)/(7))

    L'altezza è data dalla distanza tra i punti A4 e A3

    h = 2√((12)/(7))

    Dunque l'area del rettangolo è

    A = b×h = (24)/(7)

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Superiori - Geometria