Soluzioni
  • Il nostro intento consiste nel determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale:

    y''-y=2x\sin(x)

    dobbiamo cioè determinare la famiglia di funzioni y(x) che realizzano l'uguaglianza. Proprio perché è un'equazione lineare del secondo ordine e a coefficienti costanti e con termine noto speciale, possiamo rifarci alla strategia risolutiva standard.

    Essa prevede di:

    - determinare la famiglia delle soluzioni y_{0}(x) dell'equazione differenziale omogenea del secondo ordine associata:

    y''-y=0

    - determinare una soluzione particolare y_{p}(x) dell'equazione data, usando il metodo di somiglianza. L'integrale generale dell'equazione differenziale sarà dato dalla somma tra la famiglia di soluzioni dell'omogenea e la soluzione particolare, ossia:

    y(x)=y_{0}(x)+y_{p}(x)

    Soluzioni dell'equazione omogenea associata

    Consideriamo l'equazione differenziale omogenea

    y''-y=0

    associamole l'equazione caratteristica:

    \lambda^2-1=0

    Essa è un'equazione di secondo grado nell'incognita \lambda, soddisfatta dai valori

    \lambda_1=-1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ \lambda_2=1

    grazie alle quali comprendiamo che la famiglia di soluzioni dell'omogenea è:

    y_{0}(x)=c_1e^{\lambda_1 x}+c_2e^{\lambda_2 x}=c_1e^{-x}+c_2e^{x}

    dove c_1\ \mbox{e}\ c_2 sono due costanti reali.

    Soluzione particolare dell'equazione differenziale

    Il passo successivo prevede di determinare una soluzione particolare dell'equazione differenziale, vale a dire una funzione y_{p}(x) che realizza l'equazione

    y''-y=2x\sin(x)

    Esaminiamo un momento il secondo membro 2x\sin(x): è il prodotto tra un polinomio e la funzione seno, si presenta cioè nella forma Q(x)\sin(\beta x) dove Q(x)=2x è un polinomio di grado 1 e \beta=1.

    Poiché i\beta=i - con i unità immaginaria - non è soluzione dell'equazione caratteristica, la soluzione particolare si presenterà nella forma

    y_{p}(x)=P(x)\cos(\beta x)+R(x)\sin(\beta x)

    dove P(x) \ \mbox{e} \ R(x) sono due polinomi generici dello stesso grado di Q(x) (ossia 1).

    Nel caso in esame, la soluzione particolare sarà quindi

    y_{p}(x)=(Ax+B)\cos(x)+(Cx+D)\sin(x)

    con A,B,C\ \mbox{e} \ D costanti reali da determinare. Per ricavarle è sufficiente calcolare la derivata prima e la derivata seconda di y_{p}(x), sostituirle nell'equazione differenziale non omogenea e imporre l'uguaglianza.

    Per il calcolo delle derivate ci affideremo chiaramente alle classiche regole di derivazione, partendo dalla derivata prima:

    \\ y_p'(x)=\frac{d}{dx}[(Ax+B)\cos(x)+(Cx+D)\sin(x)]= \\ \\ = A\cos(x)+(D+Cx)\cos(x)+C\sin(x)-(Ax+B)\sin(x)=\\ \\ =(Cx+A+D)\cos(x)+(-Ax-B+C)\sin(x)

    Esplicitiamo la derivata seconda

    \\ y_{p}''(x)=\frac{d}{dx}[(Cx+A+D)\cos(x)+(-Ax-B+C)\sin(x)]= \\ \\ = (-Ax+2C-B)\cos(x)+(-2A-D-Cx)\sin(x)

    Sostituiamo le espressioni ottenute nell'equazione differenziale

    y_{p}''(x)-y_{p}(x)=2x\sin(x)

    così da ricavare l'uguaglianza

    (-Ax+2C-B)\cos(x)+(-2A-D-Cx)\sin(x)+\\ \\ -[(Ax+B)\cos(x)+(Cx+D)\sin(x)]=2x\sin(x)

    Una volta semplificata, l'espressione diventa

    (-2Ax+2C-2B)\cos(x)+(-2A-2D-2Cx)\sin(x)=2x\sin(x)

    L'uguaglianza deve sussistere per ogni x e ciò è possibile se  il "polinomio coefficiente" di \sin(x) al primo membro coincide con quello del secondo membro, idem per il coseno.

    \begin{cases}-2Ax+2C-2B=0\\ -2A-2D-2Cx=2x\end{cases}

    Si noti che ciascuna equazione deve valere per ogni x, interviene il principio di identità dei polinomi che consente di scrivere il seguente sistema lineare omogeneo

    \begin{cases}-2A=0\\ 2C-2B=0\\ -2C=2\\ -2A-2D=0\end{cases}

    da cui: A=0, \ B=-1, \ C=-1\ \mbox{e} \ D=0.

    Determinate le costanti, possiamo esplicitare la soluzione particolare: basta sostituire i valori ottenuti nell'espressione

    y_{p}(x)=(Ax+B)\cos(x)+(Cx+D)\sin(x)

    ricavando così:

    y_{p}(x)=(-1)\cos(x)+(-x)\sin(x)=-\cos(x)-x\sin(x)

    Integrale generale dell'equazione differenziale

    Finalmente abbiamo tutte le informazioni per calcolare l'integrale generale che è dato dalla somma tra la famiglia di soluzioni dell'equazione omogenea e la soluzione particolare:

    y(x)=y_{0}(x)+y_{p}(x)=c_1e^{-x}+c_2e^{x}-\cos(x)-x\sin(x)

    con c_1, c_2\in\mathbb{R}.

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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