Soluzioni
  • Ciao valedec331992 arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • ok grazie =)

    Risposta di valedec331992
  • Abbiamo l'equazione differenziale:

    y''-y=2x\sin(x)

    Consideriamo l'equazione omogenea associata:

    y''-y=0

    L'equazione caratteristica è:

    \lambda^2-1=0

    Il discriminante associato è 

    \Delta= 4\textgreater 0

    le soluzioni sono 

    \lambda_1=-1

    \lambda_2=1

    quindi la famiglia di soluzioni associata all'omogenea è:

    y_0(x)=c_1 e^x+c_2 e^{-x}

    Adesso andiamo a cercare la soluzione particolare:

    y_p(x)

    Poiché al secondo membro della equazione abbiamo una funzione:

    f(x)=2x \sin(x)

    Quindi è della forma:

    f(x)=P(x)\sin(\alpha x)\mbox{ con }\alpha=1\mbox{ e }P(x)= x 

    Osserviamo che i\alpha= i non è soluzione della equazione caratteristica quindi andremo a cercare la soluzione particolare nella forma:

     

    y_p(x)=A \cos(\alpha x)+Q_1(x)\sin(\alpha x)

     

    dove Q1 è un polinomio di grado pari a P mentre A è una costante-

     

    y_p(x)= A\cos(x)+(Cx+D )\sin(x)

    Deriviamo due volte:

     

    y_p''(x)=-A \cos(x)+2 C \cos(x)- (D+Cx)\sin(x)

    Sostituiamo nella equazione differenziale:

     

    Otterremo:

    y_p''-y_p=-2(A-C)\cos(x)-2(D+Cx )\sin(x)

    questa espressione deve essere uguale a 

     

    2x\sin(x)

     

    Otteniamo quindi il sistema:

    \begin{cases}-2(A-C)=0\\ -2Cx-2D=2x\end{cases}

    Da cui 

    \begin{cases}-2A+2C=0\\ -2C=2\\-2D=0\end{cases}

    Da cui ottieni:

    A=-1\,\, C=-1\,\, D=0

    La soluzione particolare è quindi:

    y_p(x)=-\cos(x)+\left(-x\right)\sin(x)= -\cos(x)-x\sin(x)

    Quindi l'integrale generale della equazione è:

     

    y(x)= y_0(x)+y_p(x)=c_1 e^x+c_2 e^{-x}-\cos(x)-x\sin(x)

    Scusa per il mio ritardo :|

    Risposta di Ifrit
  • ok grazie mille =) cmq mi potresti aiutare a capire la teoria..cioè io gli integrali associati li ho imparati a memoria ma la regola generale qual è? =)

    Risposta di valedec331992
  • Ti invito a leggere questo: scelta della soluzione particolare per equazioni differenziali lineari del secondo ordine.

    Soprattutto il post di Omega dove vi sono le regole per determinare la particolare. Se ci sono domande, o dubbi sai cosa fare :)

    Risposta di Ifrit
  • grazie mille =)

    Risposta di valedec331992
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