Equazione differenziale non omogenea termine noto xsen(x)

Question

Sono in difficoltà con un'equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea, con termine noto del tipo xsen(x) Determinare l'integrale generale della seguente equazione differenziale y''-y = 2xsin(x) Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Il nostro intento consiste nel determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale:

dobbiamo cioè determinare la famiglia di funzioni che realizzano l'uguaglianza. Proprio perché è un'equazione lineare del secondo ordine e a coefficienti costanti e con termine noto speciale, possiamo rifarci alla strategia risolutiva standard.

Essa prevede di:

- determinare la famiglia delle soluzioni dell'equazione differenziale omogenea del secondo ordine associata:

- determinare una soluzione particolare dell'equazione data, usando il metodo di somiglianza. L'integrale generale dell'equazione differenziale sarà dato dalla somma tra la famiglia di soluzioni dell'omogenea e la soluzione particolare, ossia:

Soluzioni dell'equazione omogenea associata

Consideriamo l'equazione differenziale omogenea

associamole l'equazione caratteristica:

Essa è un'equazione di secondo grado nell'incognita , soddisfatta dai valori

grazie alle quali comprendiamo che la famiglia di soluzioni dell'omogenea è:

dove sono due costanti reali.

Soluzione particolare dell'equazione differenziale

Il passo successivo prevede di determinare una soluzione particolare dell'equazione differenziale, vale a dire una funzione che realizza l'equazione

Esaminiamo un momento il secondo membro : è il prodotto tra un polinomio e la funzione seno, si presenta cioè nella forma dove è un polinomio di grado 1 e .

Poiché - con unità immaginaria - non è soluzione dell'equazione caratteristica, la soluzione particolare si presenterà nella forma

dove sono due polinomi generici dello stesso grado di (ossia 1).

Nel caso in esame, la soluzione particolare sarà quindi

con costanti reali da determinare. Per ricavarle è sufficiente calcolare la derivata prima e la derivata seconda di , sostituirle nell'equazione differenziale non omogenea e imporre l'uguaglianza.

Per il calcolo delle derivate ci affideremo chiaramente alle classiche regole di derivazione, partendo dalla derivata prima:

y_p'(x) = (d)/(dx)[(Ax+B)cos(x)+(Cx+D)sin(x)] = Acos(x)+(D+Cx)cos(x)+Csin(x)-(Ax+B)sin(x) = (Cx+A+D)cos(x)+(-Ax-B+C)sin(x)

Esplicitiamo la derivata seconda

y_(p)''(x) = (d)/(dx)[(Cx+A+D)cos(x)+(-Ax-B+C)sin(x)] = (-Ax+2C-B)cos(x)+(-2A-D-Cx)sin(x)

Sostituiamo le espressioni ottenute nell'equazione differenziale

così da ricavare l'uguaglianza

(-Ax+2C-B)cos(x)+(-2A-D-Cx)sin(x)+;-[(Ax+B)cos(x)+(Cx+D)sin(x)] = 2xsin(x)

Una volta semplificata, l'espressione diventa

L'uguaglianza deve sussistere per ogni e ciò è possibile se il "polinomio coefficiente" di al primo membro coincide con quello del secondo membro, idem per il coseno.

-2Ax+2C-2B = 0 ;-2A-2D-2Cx = 2x

Si noti che ciascuna equazione deve valere per ogni , interviene il principio di identità dei polinomi che consente di scrivere il seguente sistema lineare omogeneo

-2A = 0 ; 2C-2B = 0 ;-2C = 2 ;-2A-2D = 0

da cui: .

Determinate le costanti, possiamo esplicitare la soluzione particolare: basta sostituire i valori ottenuti nell'espressione

ricavando così:

Integrale generale dell'equazione differenziale

Finalmente abbiamo tutte le informazioni per calcolare l'integrale generale che è dato dalla somma tra la famiglia di soluzioni dell'equazione omogenea e la soluzione particolare:

con .

Abbiamo finito.