Soluzioni
  • Risolvere la disequazione

    \sqrt{1-x^2}>|x-1|

    equivale a risolvere due sistemi di disequazioni, in ciascuno dei quali specifichiamo il segno dell'argomento del modulo, eliminando il modulo stesso. In pratica il procedimento standard per la risoluzione delle disequazioni con valori assoluti

    \left\{\begin{matrix}x-1\geq 0\\ \sqrt{1-x^2}>+(x-1)\end{matrix}\ \cup\ \left\{\begin{matrix}x-1< 0\\ \sqrt{1-x^2}>-(x-1)\end{matrix}

    Questi due sistemi vanno risolti separatamente. In entrambi i casi hai a che fare con una disequazione irrazionale, che si risolve come descritto nella lezione del link.

    Dopo aver risolto ciascuno dei due sistemi, dovrai unirne le soluzioni.

    La soluzione della disequazione iniziale è data da

    0<x<1

    Ora: risolvere questa disequazione algebricamente, cioè facendo i conti, è abbastanza faticoso. Ci vuole un sacco di tempo ed un po' di calcoli, ad ogni modo il procedimento è quello che ho descritto due righe sopra.

    Risoluzione della disequazione con il metodo grafico

    C'è un modo più furbo per risolvere una disequazione del genere: il metodo grafico, che poi è quello che richiede il tuo professore.

    Consideriamo le due funzioni

    y=\sqrt{1-x^2}

    y=|x-1|

    Risolvere 

    \sqrt{1-x^2}>|x-1|

    equivale a trovare le ascisse x per le quali il grafico della prima funzione si trova al di sopra del grafico della seconda.

    Aiutati con il tool per il grafico di funzioni online.

    Disegnamo il grafico della prima funzione: per l'esistenza della radice, il radicando deve essere non negativo, quindi

    1-x^2\geq 0\to 0<x<1

    Eleviamo l'espressione della funzione al quadrato

    y^2=1-x^2

    ossia x^2+y^2=1: il grafico del luogo geometrico è dato dalla circonferenza unitaria di centro l'origine, mentre il grafico della funzione si limita alla semicirconferenza che si trova al di sopra dell'asse delle ascisse.

    Poi consideriamo

    y=|x-1|

    e, ancora prima

    y=x-1

    che ha come grafico una retta: applicare il valore assoluto al grafico di questa funzione vuol dire prendere i punti ad ordinata negativa e rifletterli rispetto all'asse delle ascisse.

     

    Metodo grafico per disequazione con valore assoluto e radice

     

    E se confrontiamo i due grafici, troviamo subito le soluzioni!

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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