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  • Ciao franceskina arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Vedo che non rispondi quindi procendo con la definizione di ordine di infinitesimo:

    Sia f una funzione, diremo che f è un infinitesimo di ordine \alpha per x che tende a x_0 se:

     

    \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{(x-x_0)^{\alpha}}= \ell\ne 0

    Nel nostro caso abbiamo che:

    x_0=0

    f(x)= \sqrt{x}\sin(3x)-x\sqrt{x}= \sqrt{x}(\sin(3x)-x)

    Per determinare l'ordine di infinitesimo, consideriamo il limite:

    \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x}(\sin(3x)-x)}{x^{\alpha}}

    dobbiamo determinare alpha di modo che il limite sia finito e diverso da zero:

    Ci vengono in soccorso le stime asintotiche:

    \sin(3x)\sim_{0}3x

    sostituendo, il limite diventa:

    \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x}(3x-x)}{x^{\alpha}}=

    \lim_{x\to 0}\frac{2x\sqrt{x}}{x^{\alpha}}

    Per le proprietà delle potenze:

    \lim_{x\to 0}\frac{2x^{1+\frac{1}{2}}}{x^{\alpha}}=

    \lim_{x\to 0}2x^{\frac{3}{2}-\alpha}

    Il limite è finito e diverso da zero se e solo se:

    \frac{3}{2}-\alpha= 0\iff \alpha= \frac{3}{2}

    Quindi l'ordine di infinitesimo è 

    \frac{3}{2}

    Risposta di Ifrit
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