Soluzioni
  • Per dimostrare l'uguaglianza trigonometrica

    \cot^2(\alpha)+\cot^2(\beta)=\mbox{cosec}^2(\alpha)+\mbox{cosec}^2(\beta)-2

    partiamo dal primo membro

    \cot^2(\alpha)+\cot^2{\beta}=

    e usiamo immediatamente la definizione di cotangente per esprimerla nel rapporto tra coseno e seno

    =\frac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}+\frac{\cos^2(\beta)}{\sin^2(\beta)}=

    La relazione fondamentale della goniometria ci permette di esprimere i quadrati dei coseni in termini dei quadrati del seni

    =\frac{1-\sin^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}+\frac{1-\sin^2(\beta)}{\sin^2(\beta)}=

    A questo punto distribuiamo i denominatori a ciascun addendo dei rispettivi denominatori

    \\ =\frac{1}{\sin^2(\alpha)}-\frac{\sin^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}+\frac{1}{\sin^2(\beta)}-\frac{\sin^2(\beta)}{\sin^2(\beta)}= \\ \\ \\ =\frac{1}{\sin^2(\alpha)}-1+\frac{1}{\sin^2(\beta)}-1=\\ \\ \\ =\frac{1}{\sin^2(\alpha)}+\frac{1}{\sin^2(\beta)}-2

    Le proprietà delle potenze giustificano le seguenti identità

    \\ \frac{1}{\sin^2(\alpha)}=\left(\frac{1}{\sin(\alpha)}\right)^2 \\ \\ \\ \frac{1}{\sin^2(\beta)}=\left(\frac{1}{\sin(\beta)}\right)^2

    grazie alle quali

    \frac{1}{\sin^2(\alpha)}+\frac{1}{\sin^2(\beta)}-2=

    diventa

    \left(\frac{1}{\sin(\alpha)}\right)^2+\left(\frac{1}{\sin(\beta)}\right)^2-2=

    Per definizione, il reciproco del seno coincide con la cosecante, per cui l'espressione si riscrive nella forma equivalente

    =\mbox{cosec}^2(\alpha)+\mbox{cosec}^2(\beta)-2

    È fatta! Abbiamo dimostrato che

    \cot^2(\alpha)+\cot^2(\beta)=\mbox{cosec}^2(\alpha)+\mbox{cosec}^2(\beta)-2

    che è quello che volevamo.

    Risposta di Ifrit
 
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