Integrale doppio con modulo di x+y

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Mi spieghereste come si risolve questo integrale doppio del modulo di x+y? Purtroppo non ho mai capito come gestire l'integranda quando è in valore assoluto.

 

Calcolare il seguente integrale doppio

 

∫ ∫_T |x+y| dx dy

 

dove T è il dominio situato nel semipiano y ≤ 0 e compreso tra le rette y = 0 e x = 1, e la curva y^2 = x

Domanda di rori

 
Soluzioni

  • Sappiamo che T è il dominio situato nel semipiano y ≤ 0 e compreso tra le rette y = 0 e x = 1, e la curva y^2 = x. Dobbiamo calcolare il seguente integrale doppio su T

    ∫ ∫_T |x+y| dx dy

    Procediamo!

    Riscriviamo la curva y^2 = x come y = ±√(x). Per com'è definito il dominio di integrazione T possiamo limitarci a considerare il ramo

    y = -√(x)

    Se disegniamo le tre curve che delimitano il dominio di integrazione T, cioè

    y = -√(x) ; y = 0 ; x = 1

    è evidente che per calcolare l'integrale doppio dobbiamo spezzare il dominio nell'unione di due sottoinsiemi, in modo tale da poter specificare il segno dell'argomento del valore assoluto, e conseguentemente eliminare il modulo dall'integranda.

    Consideriamo la bisettrice del secondo e quarto quadrante y = -x, che divide il dominio T in due parti, e consideriamo un'ascissa x_(0)∈ [0,1].

    Ragioniamo lungo la retta verticale x = x_(0):

    • se -x ≤ y ≤ 0, cioè se y+x ≥ 0, allora possiamo riscrivere l'integranda come

    |y+x| = +(y+x)

    • se -√(x) ≤ y ≤ -x, cioè se y+x ≤ 0, allora possiamo riscrivere l'integranda come

    |y+x| = -(y+x)

    Si può quindi riscrivere l'integrale doppio nella forma

    ∫ ∫_T |x+y| dx dy = ∫_(0)^(1)[∫_(-x)^(0)(y+x)dy+∫_(-√(x))^(-x)-(y+x)dy]dx

    Calcoliamo i due integrali definiti interni

    ∫_(-x)^(0)(y+x)dy = [(y^2)/(2)+xy]_(-x)^(0) = -(x^2)/(2)+x^2

    poi

    -∫_(-√(x))^(-x)(y+x)dy = -[(y^2)/(2)+xy]_(-√(x))^(-x) = -((x^2)/(2)-x^2-(x)/(2)+x√(x))

    Di conseguenza

    ∫ ∫_T |x+y| dx dy = ∫_(0)^(1)[∫_(-x)^(0)(y+x)dy+∫_(-√(x))^(-x)-(y+x)dy]dx = ∫_(0)^(1)-(x^2)/(2)+x^2-((x^2)/(2)-x^2-(x)/(2)+x√(x)) dx =

    semplifichiamo l'integranda

    = ∫_(0)^(1) x^2+(x)/(2)-x√(x) dx =

    e calcoliamo quest'ultimo integrale

    = [(x^3)/(3)+(x)/(4)-(x^((5)/(2)))/((5)/(2))]_0^1 = (1)/(3)+(1)/(4)-(2)/(5) = (11)/(60)

    Namasté!

    Risposta di Galois
 
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