Soluzioni
  • Ciao Rori, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Ok: alla luce della definizione del dominio di integrazione T, della curva y^2=x, che riscriviamo come y=\pm\sqrt{x}, dobbiamo limitarci a considerare il ramo

    y=-\sqrt{x}

    disegnando le tre curve che delimitano il dominio di integrazione T, cioè

    y=-\sqrt{x}

    y=0

    x=1

    Per calcolare l'integrale

    \int\int_{T}{|y+x|dxdy}

    dobbiamo spezzare il dominio nell'unione di due sottoinsiemi, in modo tale da poter specificare il segno dell'argomento del modulo e conseguentemente eliminare il modulo.

    Consideriamo la retta y=-x, che divide il dominio T in due parti, e consideriamo un'ascissa x_{0}\in [0,1]. Ragioniamo lungo la retta verticale x=x_{0}:

    1) se  -x\leq y\leq 0, cioè y+x\geq 0, allora possiamo riscrivere l'integranda come |y+x|=+(y+x)

    2) se  -\sqrt{x}\leq y\leq -x, cioè y+x\leq 0, allora possiamo riscrivere l'integranda come |y+x|=-(y+x)

    Si può quindi riscrivere l'integrale nella forma

    \int_{0}^{1}{\left[\int_{-x}^{0}{(y+x)dy}+\int_{-\sqrt{x}}^{-x}{-(y+x)dy}\right]dx}

    Non dovresti avere problemi a calcolare l'integrale scritto in questa forma...o no? Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • per l'inizio ci sono..ma l'integrale non mi viene uguale...l'integrale riscritto nella nuova forma pensavo di averlo sbagliato invece era giutso ma non mi viene il risultato..prima mi era venuto 59/60, adesso 7/12...sicuro faccio casini quando lo svolgo.. ti posso chiedere se possiamo svolgere anche l'integrale?

    grazie

    Risposta di rori
  • Allora devi aver commesso un errore di calcolo da qualche parte, ma non c'è problema, vediamo subito come risolvere:

    \int_{-x}^{0}{(y+x)dy}=\left[\frac{y^2}{2}+xy\right]_{-x}^{0}=-\frac{x^2}{2}+x^2

    poi

    -\int_{-\sqrt{x}}^{-x}{(y+x)dy}=-\left[\frac{y^2}{2}+xy\right]_{-\sqrt{x}}^{-x}=-\left[\frac{x^2}{2}-x^2-\frac{x}{2}+x\sqrt{x}\right]

    Calcolando la somma dei due integrali (occhio al meno del secondo integrale!) otteniamo

    x^2+\frac{x}{2}-x\sqrt{x}

    integrando tale funzione su [0,1]

    \int_{0}^{1}{\left(x^2+\frac{x}{2}-x\sqrt{x}\right)dx}=\left[\frac{x^3}{3}+\frac{x}{2}-\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}\right]_0^1=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{2}{5}=\frac{11}{60}

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • grazieee...facevo casini con i segni!e dimenticavo anche il meno del secondo integraleEmbarasseddevo starci più attentaTongue out...grazieee grazieeeLaughing

    Risposta di rori
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