Soluzioni
  • Chiamo: 

    r:2x+y-1=0

    la prima retta

    t: x-2y+2=0

    la seconda.

    Sappiamo che il centro della circonferenza giace sulla retta y=-1, quindi le coordinate del centro saranno:

    C(x, -1)

    dove x è un parametro da determinare.

    Poiché la circonferenza che cerchiamo è tangente alle due rette, si ha che le distanze tra il centro e le due rette devono essere uguali. Consideriamo la formula per la distanza punto retta ed imponiamo l'equazione

    d_r= \frac{|2x-1-1|}{\sqrt{2^2+1}}= \frac{|2x-2|}{\sqrt{5}}

    La distanza tra il centro e la seconda retta è invece:

    d_t=\frac{|x+2+2|}{\sqrt{1+2^2}}=\frac{|x+4|}{\sqrt{5}}

    Imponiamo che le due distanze coincidano:

    d_r=d_t\iff |2x-2|= |x+4|

    Da cui ottieni due soluzioni:

    x_1=-\frac{2}{3}

    x_2= 6

    Per ottenere il raggio è sufficiente sostituire una delle due soluzioni trovate nella formula della distanza:

    Per x=6

    r_1= \frac{|6+4|}{\sqrt{5}}= \frac{10}{\sqrt{5}}= 2\sqrt{5}

    Per x= -\frac{2}{3}

    r_2= \frac{\left|-\frac{2}{3}+4\right|}{\sqrt{5}}=\frac{2}{3}\sqrt{5}

    Quindi abbiamo due circonferenze che rispettano queste condizioni, una di centro 

    C(6, -1) e raggio r_1=2\sqrt{5}

    La cui equazione è:

    (x-6)^2+(y+1)^2= 20\iff x^2+y^2-12x+2y+17=0

    l'altra di centro:

    C\left(-\frac{2}{3},-1\right) e raggio r_2= \frac{2}{3}\sqrt{5}

    La cui equazione è:

    \left(x+\frac{2}{3}\right)^2+(y+1)^2= \frac{20}{9}

    Che scritta in forma canonica è:

    x^2+y^2+\frac{4}{3}x+2y-\frac{7}{9}=0

    Se hai domande sono qui :D

    Risposta di Ifrit
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