Circonferenza tangente con centro su una retta

Question

Ciao, ho un esercizio sulle circonferenze tangenti con il centro appartenente ad una retta...non ho idea di come si faccia. Scrivere l'equazione della circonferenza che ha il centro sulla retta y = -1 ed è tangente alle due rette 2x+y-1 = 0 e x-2y+2 = 0.Grazie!

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Chiamo: r:2x+y-1 = 0 la prima retta t: x-2y+2 = 0 la seconda. Sappiamo che il centro della circonferenza giace sulla retta y = -1, quindi le coordinate del centro saranno: C(x,-1) dove x è un parametro da determinare. Poiché la circonferenza che cerchiamo è tangente alle due rette, si ha che le distanze tra il centro e le due rette devono essere uguali. Consideriamo la formula per la distanza punto retta ed imponiamo l'equazione d_r = (|2x-1-1|)/(√(2^2+1)) = (|2x-2|)/(√(5)) La distanza tra il centro e la seconda retta è invece: d_t = (|x+2+2|)/(√(1+2^2)) = (|x+4|)/(√(5)) Imponiamo che le due distanze coincidano: d_r = d_t ⇔ |2x-2| = |x+4| Da cui ottieni due soluzioni: x_1 = -(2)/(3) x_2 = 6 Per ottenere il raggio è sufficiente sostituire una delle due soluzioni trovate nella formula della distanza: Per x = 6 r_1 = (|6+4|)/(√(5)) = (10)/(√(5)) = 2√(5) Per x = -(2)/(3) r_2 = (|-(2)/(3)+4|)/(√(5)) = (2)/(3)√(5) Quindi abbiamo due circonferenze che rispettano queste condizioni, una di centro C(6,-1) e raggio r_1 = 2√(5) La cui equazione è: (x-6)^2+(y+1)^2 = 20 ⇔ x^2+y^2-12x+2y+17 = 0 l'altra di centro: C(-(2)/(3),-1) e raggio r_2 = (2)/(3)√(5) La cui equazione è: (x+(2)/(3))^2+(y+1)^2 = (20)/(9) Che scritta in forma canonica è: x^2+y^2+(4)/(3)x+2y-(7)/(9) = 0 Se hai domande sono qui :D