Verificare identità trigonometrica con tangente e secante

Ciao, ho un'identità trigonometrica che devo verificare con le opportune formule, e in cui compaiono la tangente e la secante...il testo dell'esercizio è:

$tan^2(\alpha) - \tan^2(\beta) = \sec^2(\alpha) - \sec^2(\beta)$

Spero di aver scritto il testo correttamente, vorrei la soluzione...

In Superiori - Algebra - Domanda di Senialf

Soluzioni

Ciao Sefialf arrivo :D

Risposta di Ifrit
Al primo membro abbiamo:

$\tan^2\alpha -\tan^2\beta$

Per definizione di tangente abbiamo:

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$

Quindi:

$\tan^2\alpha -\tan^2\beta= \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2\alpha}-\frac{\sin^2\beta}{\cos^2\beta}$

Ricorda ora che, per la relazione fondamentale della Goniometria

$\sin^2\alpha= 1-\cos^2\alpha$

così come

$\sin^2\beta= 1-\cos^2\beta$

Sostituendo abbiamo:

$\tan^2\alpha -\tan^2\beta= \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2\alpha}-\frac{\sin^2\beta}{\cos^2\beta}=$

$\frac{1-\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}-\frac{1-\cos^2\beta}{\cos^2\beta}=$

$\frac{1}{\cos^2\alpha}-\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}-\frac{1}{\cos^2\beta}+\frac{\cos^2\beta}{\cos^2\beta}=$

Semplifica il semplificabile:

$\frac{1}{\cos^2\alpha}-1-\frac{1}{\cos^2\beta}+1=$

da cui

$\frac{1}{\cos^2\alpha}-\frac{1}{\cos^2\beta}$

Ricordiamo che, per definizione di secante

$\frac{1}{\cos^2\alpha}= \sec\alpha$

$\frac{1}{\cos^2\beta}= \sec\beta$

quindi:

$\frac{1}{\cos^2\alpha}-\frac{1}{\cos^2\beta}= \sec^2\alpha-\sec^2\beta$

Ti supplico la prossima volta un titolo più significativo grazie!

Risposta di Ifrit

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