Soluzioni
  • Il nostro obiettivo consiste nel dimostrare l'uguaglianza trigonometrica

    \\ \tan^2(\alpha)-\tan^2(\beta)=\sec^2(\alpha)-\sec^2(\beta) \\ \\ \mbox{per ogni }\alpha,\beta\ne\frac{\pi}{2}+k\pi

    Per farlo, partiamo dal primo membro

    \tan^2(\alpha)-\tan^2(\beta)=

    e scriviamo le due tangenti in termini di seno e coseno

    =\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}-\frac{\sin^2(\beta)}{\cos^2(\beta)}=

    Usiamo a questo punto la relazione fondamentale della goniometria per esprimere i quadrati dei seni in termini dei rispettivi coseni

    =\frac{1-\cos^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}-\frac{1-\cos^2(\beta)}{\cos^2(\beta)}=

    dopodiché distribuiamo i denominatori a ciascun addendo dei numeratori cui si riferiscono

    =\frac{1}{\cos^2(\alpha)}-\frac{\cos^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}-\left(\frac{1}{\cos^2(\beta)}-\frac{\cos^2(\beta)}{\cos^2(\beta)}\right)=

    Semplifichiamo i rapporti di coseni e svolgiamo i calcoli

    \\ =\frac{1}{\cos^2(\alpha)}-1-\left(\frac{1}{\cos^2(\beta)}-1\right)= \\ \\ \\ =\frac{1}{\cos^2(\alpha)}-1-\frac{1}{\cos^2(\beta)}+1=\\ \\ \\ =\frac{1}{\cos^2(\alpha)}-\frac{1}{\cos^2(\beta)}=

    Abbiamo praticamente finito: per definizione infatti la secante di un angolo è il reciproco del coseno dell'angolo, perciò l'espressione diventa

    =\sec^2(\alpha)-\sec^2(\beta)

    In conclusione abbiamo dimostrato che sussiste l'identità

    \\ \tan^2(\alpha)-\tan^2(\beta)=\sec^2(\alpha)-\sec^2(\beta) \\ \\ \mbox{per ogni }\alpha,\beta\ne\frac{\pi}{2}+k\pi

    come volevamo.

    Risposta di Ifrit
 
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