Soluzioni
  • Ciao Cimino, la domanda va benissimo, e arrivo a risponderti Wink

    A proposito: benvenuto in YouMath! :)

    Risposta di Omega
  • La cattiva notizia è che un riscontro visivo è pressoché inaccessibile, anche nel caso più semplice di funzioni di due variabili. La buona notizia è che il significato geometrico, contro ogni previsione, è molto semplice Wink

    Come nel caso di funzioni reali di una variabile reale, la derivata direzionale in un punto (nel nostro caso la derivata parziale, cioè la derivata direzionale lungo una specifica direzione parallela alla direzione di un asse del sistema di riferimento) ha il significato geometrico di pendenza e velocità di variazione dei valori assunti dalla funzione. Con una grandissima differenza: mentre nel caso di funzioni di una singola variabile la variazione si misura su una sola variabile, in più variabili abbiamo infinite direzioni lungo cui misurare la variazione dei valori assunti dalla funzione.

    Una derivata parziale, dunque, misura la velocità di variazione dei valori assunti dalla funzione lungo una determinata direzione: una direzione parallela alla direzione di uno degli assi.

    Una derivata seconda mista, di conseguenza, è la derivata parziale di una derivata parziale: misura la variazione lungo una direzione parallela ad un asse della variazione dei valori assunti dalla funzione lungo una direzione parallela ad un altro asse.

    Fino a qui il discorso sembra una roba complicatissima, ma non lo è: il teorema di Schwarz asserisce che, nell'ipotesi di continuità delle derivate seconde miste, non ha importanza l'ordine di derivazione perché le derivate parziali miste coincidono sia che si derivi prima rispetto ad una variabile e poi rispetto ad un'altra, o viceversa.

    Dal punto di vista geometrico, ciò significa che una funzione con derivate parziali seconde continue nell'intorno di un punto è costretta ad assumere valori che variano "con velocità che variano allo stesso modo" (Tesi: stesse derivate parziali miste) sia in un modo che nell'altro.

    Un vincolo geometrico, in un certo senso, che fornisce una grandissima agevolazione nel calcolo delle matrici Hessiane - nell'ipotesi di continuità.

    Se dovessi avere dubbi, non esitare a chiedere..

    Namasté!

     

    Risposta di Omega
  • quindi se ho capito bene la variazione della pendenza rispetto ad un asse del sistema

    della variazione della pendenza rispetto ad un altro  asse del sistema rimane la stessa se scambiamo l' ordine con cui abbiamo considerato questi assi?

    Risposta di Cimino
  • Esattamente! Laughing

    Namasté!

    Risposta di Omega
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