Soluzioni
  • Una funzione vettoriale (o funzione a valori vettoriali) è una funzione di una o più variabili reali che assume valori in ℝn, ossia che ha per codominio il prodotto cartesianon, dove n è un numero naturale maggiore di 1.

    La differenza tra le funzioni reali e le funzioni vettoriali è che l'insieme d'arrivo delle funzioni reali è l'insieme \mathbb{R} dei numeri reali, mentre l'insieme d'arrivo delle funzioni vettoriali è l'insieme \mathbb{R}^n, con n\in \mathbb{N}, \ n>1.

    \mbox{reale}\ \ f:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}\ \ (m\geq 1)\\ \\ \mbox{vettoriale}\ \ f:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^n\ \ (m\geq 1,\ n>1)

    In altri termini una funzione reale associa a ogni vettore \underline{x}\in Dom(f)\subseteq \mathbb{R}^m del dominio un valore reale y\in\mathbb{R}

    \mbox{reale}\ \ f:\underline{x}\in Dom(f)\subseteq\mathbb{R}^m \mapsto y\in\mathbb{R}\ \ (m\geq 1)

    mentre una funzione vettoriale associa a ogni vettore \underline{x}\in Dom(f)\subseteq \mathbb{R}^m del dominio un vettore \underline{y}\in\mathbb{R}^n

    \mbox{vettoriale}\ \ f:\underline{x}\in Dom(f)\subseteq\mathbb{R}^m \mapsto \underline{y}\in\mathbb{R}^n\ \ (m\geq 1,\ n>1)

    In particolare una funzione vettoriale f:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^n viene individuata mediante n funzioni reali f_i con i=1...n

    \mbox{vettoriale}\ \ f(\underline{x})=(f_1(\underline{x}),f_2(\underline{x}),...,f_n(\underline{x}))

    e le funzioni f_1,f_2,...,f_n prendono il nome di componenti della funzione f.

    Esempi di funzioni reali e di funzioni vettoriali

    1) la funzione identità

    f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ \\ x \mapsto f(x)=x

    è una funzione reale (di variabile reale), infatti il suo insieme d'arrivo (o codominio) è l'insieme R.

    2) La funzione

    f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \\ \\ (x_1,x_2) \mapsto f(x_1,x_2)=x_1x_2

    è una funzione reale (di due variabili reali), che associa a ogni coppia (x_1,x_2) il prodotto x_1x_2, che è un numero reale.

    3) La funzione

    f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 \\ \\ x \mapsto f(x)=(x, x^2)

    è una funzione vettoriale (di variabile reale), in quanto l'insieme d'arrivo è \mathbb{R}^2 e le sue componenti sono le funzioni

    f_1(x)=x\\ \\ f_2(x)=x^2

    4) La funzione

    f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \\ \\ (x_1,x_2,x_3) \mapsto f(x)=(x_1, x_1x_2^2x_3)

    è una funzione vettoriale (di tre variabili reali), infatti l'insieme d'arrivo è \mathbb{R}^2 e le sue componenti sono le funzioni

    f_1(x_1,x_2,x_3)=x_1\\ \\ f_2(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2^2x_3

    Insieme di partenza di una funzione vettoriale

    Come si nota dai precedenti esempi, per quanto riguarda l'insieme di partenza una funzione vettoriale può avere un insieme a una o più dimensioni. Nello specifico:

    - le funzioni del tipo

    f:\Omega \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n, \ \mbox{con} \ n\in \mathbb{N}, \ n>1

    si dicono funzioni vettoriali di una variabile reale, perché il dominio è un sottoinsieme dell'insieme dei numeri reali.

    - Le funzioni della forma

    f:\Omega \subseteq \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n, \ \mbox{con} \ m,n \in \mathbb{N}, \ m,n > 1

    sono funzioni vettoriali di più variabili reali, poiché l'insieme di partenza ha due o più dimensioni.

    Esempi di funzioni vettoriali di una o più variabili reali

    \\ \bullet \ f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \\ \\ (x,y,z) \mapsto f(x,y,z)=(f_1(x,y,z), f_2(x,y,z))

    con

    f_1(x,y,z)=12xy

    f_2(x,y,z)=\sin(xy)

    è una funzione vettoriale di tre variabili reali.

    \\ \bullet \ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^3 \\ \\ x \mapsto f(x)=(f_1(x), f_2(x), f_3(x))

    con

    f_1(x)=\cos(x)

    f_2(x)=12x^2

    f_3(x)=x^5

    è una funzione vettoriale di una variabile reale.

    ***

    Concludiamo un link di rimando alla lezione sui campi vettoriali, dei casi particolari di funzioni vettoriali in cui l'insieme di partenza e quello d'arrivo hanno la stessa dimensione.

    Risposta di Galois
 
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