Soluzioni
  • Per risolvere l'equazione goniometrica

    1+\frac{\cos{(x)}}{\tan{(x)}}=\sin{(x)}

    Prima di tutto, le condizioni di esistenza delle soluzioni

    \tan(x)\neq 0\ \to\ x\neq k\pi\mbox{ con }k\in\mathbb{Z}

    e per l'esistenza della tangente

    x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi\mbox{ con }k\in\mathbb{Z}

    bisogna procedere in modo del tutto analogo al procedimento visto qui, solo che nel caso della qui presente equazione bisogna riscrivere l'equazione sfruttando la definizione di tangente

    1+\frac{\cos{(x)}}{\frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}}=\sin{(x)}

    ora, con calcoli del tutto analoghi si ottiene

    2\sin^2{(x)}-\sin{(x)}-1=0

    Sostituendo y=\sin{(x)} passiamo ad un'equazione di secondo grado

    2y^2-y-1=0

    che, come abbiamo già visto nella D&R del link, ha soluzioni

    y=1\mbox{ ; }y=-\frac{1}{2}

    Passiamo così a risolvere le equazioni elementari

    \sin{(x)}=1

    che ha soluzioni

    x=\frac{\pi}{2}+2k\pi al variare di k\in\mathbb{Z}

    e

    \sin{(x)}=-\frac{1}{2}

    che ha soluzioni

    x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi al variare di k\in\mathbb{Z}

    x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi al variare di k\in\mathbb{Z}

    Non ti resta che confrontare le soluzioni con le condizioni di esistenza. ;)

    Namasté!

    Risposta di Omega
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