Equazione goniometrica con cotangente, tangente e seno

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Vorrei sapere, se possibile, come risolvere questa equazione goniometrica in cui compaiono tangente, cotangente e seno

 

Traccia: risolvere la seguente equazione goniometrica:

 

1+(cos(x))/(tan(x)) = sin(x)

 

Spero possiate aiutarmi!

Domanda di Senialf

 
Soluzioni

  • Per risolvere l'equazione goniometrica

    1+(cos(x))/(tan(x)) = sin(x)

    Prima di tutto, le condizioni di esistenza delle soluzioni

    tan(x) ≠ 0 → x ≠ kπ con k∈Z

    e per l'esistenza della tangente

    x ≠ (π)/(2)+kπ con k∈Z

    bisogna procedere in modo del tutto analogo al procedimento visto qui, solo che nel caso della qui presente equazione bisogna riscrivere l'equazione sfruttando la definizione di tangente

    1+(cos(x))/((sin(x))/(cos(x))) = sin(x)

    ora, con calcoli del tutto analoghi si ottiene

    2sin^2(x)-sin(x)-1 = 0

    Sostituendo y = sin(x) passiamo ad un'equazione di secondo grado

    2y^2-y-1 = 0

    che, come abbiamo già visto nella D&R del link, ha soluzioni

    y = 1 ; y = -(1)/(2)

    Passiamo così a risolvere le equazioni elementari

    sin(x) = 1

    che ha soluzioni

    x = (π)/(2)+2kπ al variare di k∈Z

    e

    sin(x) = -(1)/(2)

    che ha soluzioni

    x = -(π)/(6)+2kπ al variare di k∈Z

    x = -(5π)/(6)+2kπ al variare di k∈Z

    Non ti resta che confrontare le soluzioni con le condizioni di esistenza. ;)

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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