Equazione della circonferenza inscritta in un triangolo

Per trovare l'equazione della circonferenza inscritta in un triangolo basta usare l'equazione della circonferenza (x-x_C)²+(y-y_C)²=r², sostituire (x_C,y_C) con le coordinate cartesiane dell'incentro e ricavare r come distanza dell'incentro da un lato qualsiasi del triangolo.

Ricordiamo infatti che:

• il centro della circonferenza inscritta in un triangolo è l'incentro del triangolo, ossia il punto di incontro delle sue bisettrici;

• la circonferenza inscritta in un triangolo è tangente a tutti i lati del triangolo, dunque la misura del raggio della circonferenza è uguale alla distanza tra il centro della circonferenza e uno qualsiasi dei lati.

Analizziamo il metodo nel dettaglio.

Supponiamo di conoscere le coordinate cartesiane dei vertici del triangolo

Per determinare l'equazione della circonferenza inscritta nel triangolo procediamo nel modo seguente.

1) Calcoliamo le misure dei lati dei triangolo applicando la formula per la distanza tra due punti. Siano:

2) Determiniamo le coordinate cartesiane dell'incentro del triangolo, che sono date da:

3) Troviamo l'equazione della retta che passa per due vertici qualsiasi del triangolo. Sia essa

4) Calcoliamo la misura del raggio della circonferenza, che è uguale alla distanza tra l'incentro e la retta , e che quindi può essere calcolata con la formula per la distanza punto retta:

5) L'equazione della circonferenza inscritta nel triangolo è

Esempio sul calcolo dell'equazione della circonferenza inscritta in un triangolo

Scrivere l'equazione della circonferenza inscritta nel triangolo di vertici

Svolgimento: per prima cosa calcoliamo le lunghezze dei lati del triangolo.

Analogamente

Facciamo notare che per calcolare la misura del lato avremmo potuto usare la formula

perché i due punti, avendo la stessa ordinata, sono allineati su una retta orizzontale (sono punti dell'asse x).

Lo stesso dicasi per il calcolo della misura del lato . Poiché i punti hanno la stessa ascissa avremmo potuto usare la formula

Ora che conosciamo le misure dei lati del triangolo, troviamo le coordinate cartesiane dell'incentro.

In definitiva le coordinate dell'incentro, e quindi del centro della circonferenza inscritta, sono

Il passo successivo prevedere di scegliere due vertici qualsiasi del triangolo e di calcolare l'equazione della retta che passa per essi.

Abbiamo già osservato che i vertici e sono allineati orizzontalmente, dunque scegliamoli per comodità. L'equazione della retta passante per questi due punti è:

ossia

Calcoliamo la distanza tra il punto e la retta , che corrisponde alla misura del raggio della circonferenza.

I coefficienti dell'equazione in forma implicita della retta sono:

per cui

Ci siamo! L'equazione della circonferenza inscritta nel triangolo di vertici è

ossia

***

È tutto! Se ti serve una dimostrazione del perché il centro della circonferenza inscritta in un triangolo è l'incentro, la trovi nell'approfondimento dell'ultimo link. ;)