Per poter semplificare l'espressione con le frazioni algebriche
bisogna prima di tutto scomporre i polinomi usando le opportune tecniche di fattorizzazione. Occupiamoci di
il quale è un binomio che può essere decomposto con la tecnica del raccoglimento totale: ciascun termine è divisibile per
.
Per quanto concerne la scomposizione del polinomio
mettiamo in evidenza 5
e fattorizziamo il polinomio tra parentesi tonde con la regola sul trinomio notevole che consiste nel ricercare due numeri interi
, il cui prodotto coincide con il coefficiente di
e il cui prodotto è uguale al termine noto
.
In termini espliciti
devono soddisfare le seguenti relazioni
da cui segue che
.
In accordo con la regola sul trinomio notevole, possiamo scrivere:
Con la medesima tecnica, siamo in grado di scomporre anche il terzo polinomio a denominatore come segue:
Note le scomposizioni dei denominatori, possiamo imporre le condizioni di esistenza: basta richiedere che ciascun fattore delle scomposizioni sia diverso da zero!
Per garantire la non nullità del denominatore
richiederemo che:
ossia
Per garantire la non nullità di
richiederemo che siano non nulli i fattori della sua scomposizione
da cui
Per fare in modo che il polinomio
imponiamo le seguenti condizioni
dalle quali si ricavano
Alla luce delle considerazioni precedenti, le condizioni di esistenza associate all'espressione sono:
Orbene, possiamo occuparci dei passaggi algebrici che consentono di semplificare l'espressione
Sostituiamo i polinomi con le rispettive scomposizioni
ed esprimiamo le frazioni a denominatore comune
Sviluppiamo i prodotti tra i polinomi al numeratore
e sommiamo tra loro i monomi simili
Scomponiamo il polinomio al numeratore con la regola del trinomio notevole con coefficiente diverso da 1. In questa circostanza, ricerchiamo due numeri interi
la cui somma coincide con il coefficiente di
e il cui prodotto è uguale a quello tra il coefficiente di
e il termine noto:
I numeri richiesti sono
e consentono di riscrivere il trinomio nella seguente maniera:
Distribuiamo
a ciascun addendo nella parentesi
e sfruttiamo la tecnica del raccoglimento parziale: mettiamo in evidenza
tra i primi due addendi e
dagli ultimi due
dopodiché raccogliamo il fattore comune
Ritorniamo all'espressione
rimpiazziamo il numeratore con la sua scomposizione
semplifichiamo
e infine scriviamo il risultato
Ecco fatto!
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