Calcolare la somma di due frazioni algebriche

Non sono in grado di semplificare un'espressione con le frazioni algebriche perché non capisco quali tecniche di fattorizzazione io debba usare per scomporre i polinomi che la compongono. Potreste aiutarmi mostrandomi ogni passaggio?

Semplificare la seguente espressione con le frazioni algebriche

$\frac{2}{5x^2-10x}-\frac{2}{5x^2-15x+10}+\frac{1}{x^2+x-6}$

Grazie.

Domanda di marcello

Soluzioni

Per poter semplificare l'espressione con le frazioni algebriche
$\frac{2}{5x^2-10x}-\frac{2}{5x^2-15x+10}+\frac{1}{x^2+x-6}$
bisogna prima di tutto scomporre i polinomi usando le opportune tecniche di fattorizzazione. Occupiamoci di il quale è un binomio che può essere decomposto con la tecnica del raccoglimento totale: ciascun termine è divisibile per .
Per quanto concerne la scomposizione del polinomio
mettiamo in evidenza 5
e fattorizziamo il polinomio tra parentesi tonde con la regola sul trinomio notevole che consiste nel ricercare due numeri interi $A\ \mbox{e} \ B$ , il cui prodotto coincide con il coefficiente di $x, \ (-3)$ e il cui prodotto è uguale al termine noto .
In termini espliciti $A\ \mbox{e} \ B$ devono soddisfare le seguenti relazioni
$A+B=-3 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ A\cdot B=2$
da cui segue che $A=-1\ \mbox{e} \ B=-2$ .
In accordo con la regola sul trinomio notevole, possiamo scrivere:
Con la medesima tecnica, siamo in grado di scomporre anche il terzo polinomio a denominatore come segue:
Note le scomposizioni dei denominatori, possiamo imporre le condizioni di esistenza: basta richiedere che ciascun fattore delle scomposizioni sia diverso da zero!
Per garantire la non nullità del denominatore richiederemo che:
$x\ne 0 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ (x-2)\ne 0$
ossia
$x\ne 0 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ x\ne 2$
Per garantire la non nullità di richiederemo che siano non nulli i fattori della sua scomposizione
$(x-1)\ne 0 \ \ \ \mbox{e}\ \ \ (x-2)\ne 0$
da cui
$x\ne 1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ x\ne 2$
Per fare in modo che il polinomio imponiamo le seguenti condizioni
$(x-2)\ne 0 \ \ \ \wedge \ \ \ (x+3)\ne 0$
dalle quali si ricavano
$x\ne 2 \ \ \ \wedge \ \ \ x\ne -3$
Alla luce delle considerazioni precedenti, le condizioni di esistenza associate all'espressione sono:
$C.E.: \ x\ne -3 \ \ \wedge \ \ x\ne 0 \ \ \wedge \ \ x\ne 1 \ \ \wedge \ \ x\ne 2$
Orbene, possiamo occuparci dei passaggi algebrici che consentono di semplificare l'espressione
$\frac{2}{5x^2-10x}-\frac{2}{5x^2-15x+10}+\frac{1}{x^2+x-6}=$
Sostituiamo i polinomi con le rispettive scomposizioni
$=\frac{2}{5x(x-2)}-\frac{2}{5(x-2)(x-1)}+\frac{1}{(x+3)(x-2)}=$
ed esprimiamo le frazioni a denominatore comune
$=\frac{2(x-1)(x+3)-2x(x+3)+5x(x-1)}{5x(x-2)(x-1)(x+3)}=$
Sviluppiamo i prodotti tra i polinomi al numeratore
$\\ =\frac{2(x^2+2x-3)-2x^2-6x+5x^2-5x}{5x(x-2)(x-1)(x+3)}= \\ \\ \\ =\frac{2x^2+4x-6-2x^2-6x+5x^2-5x}{5x(x-2)(x-1)(x+3)}=$
e sommiamo tra loro i monomi simili
$=\frac{5x^2-7x-6}{5x(x-2)(x-1)(x+3)}$
Scomponiamo il polinomio al numeratore con la regola del trinomio notevole con coefficiente diverso da 1. In questa circostanza, ricerchiamo due numeri interi $A\ \mbox{e} \ B$ la cui somma coincide con il coefficiente di e il cui prodotto è uguale a quello tra il coefficiente di e il termine noto:
$A+B=-7 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ A\cdot B=-30$
I numeri richiesti sono $A=3 \ \mbox{e} \ B=-10$ e consentono di riscrivere il trinomio nella seguente maniera:
Distribuiamo a ciascun addendo nella parentesi
e sfruttiamo la tecnica del raccoglimento parziale: mettiamo in evidenza tra i primi due addendi e dagli ultimi due
dopodiché raccogliamo il fattore comune
Ritorniamo all'espressione
$\frac{5x^2-7x-6}{5x(x-2)(x-1)(x+3)}=$
rimpiazziamo il numeratore con la sua scomposizione
$=\frac{(x-2)(5x+3)}{5x(x-2)(x-1)(x+3)}=$
semplifichiamo e infine scriviamo il risultato
$=\frac{5x+3}{5x(x-1)(x+3)}$
Ecco fatto!
Risposta di Ifrit