Soluzioni
  • Per poter semplificare l'espressione con le frazioni algebriche

    (2)/(5x^2-10x)-(2)/(5x^2-15x+10)+(1)/(x^2+x-6)

    bisogna prima di tutto scomporre i polinomi usando le opportune tecniche di fattorizzazione. Occupiamoci di 5x^2-10x il quale è un binomio che può essere decomposto con la tecnica del raccoglimento totale: ciascun termine è divisibile per 5x.

    5x^2-10x = 5x(x-2)

    Per quanto concerne la scomposizione del polinomio

    5x^2-15x+10 =

    mettiamo in evidenza 5

    = 5(x^2-3x+2)

    e fattorizziamo il polinomio tra parentesi tonde con la regola sul trinomio notevole che consiste nel ricercare due numeri interi A e B, il cui prodotto coincide con il coefficiente di x, (-3) e il cui prodotto è uguale al termine noto (2).

    In termini espliciti A e B devono soddisfare le seguenti relazioni

    A+B = -3 e A·B = 2

    da cui segue che A = -1 e B = -2.

    In accordo con la regola sul trinomio notevole, possiamo scrivere:

    5(x^2-3x+2) = 5(x+A)(x+B) = 5(x-1)(x-2)

    Con la medesima tecnica, siamo in grado di scomporre anche il terzo polinomio a denominatore come segue:

    x^2+x-6 = (x-2)(x+3)

    Note le scomposizioni dei denominatori, possiamo imporre le condizioni di esistenza: basta richiedere che ciascun fattore delle scomposizioni sia diverso da zero!

    Per garantire la non nullità del denominatore 5x^2-10x richiederemo che:

    x ne 0 e (x-2) ne 0

    ossia

    x ne 0 e x ne 2

    Per garantire la non nullità di 5x^2-15x+10 richiederemo che siano non nulli i fattori della sua scomposizione

    (x-1) ne 0 e (x-2) ne 0

    da cui

    x ne 1 e x ne 2

    Per fare in modo che il polinomio x^2+x-6 imponiamo le seguenti condizioni

    (x-2) ne 0 ∧ (x+3) ne 0

    dalle quali si ricavano

    x ne 2 ∧ x ne-3

    Alla luce delle considerazioni precedenti, le condizioni di esistenza associate all'espressione sono:

    C.E.: x ne-3 ∧ x ne 0 ∧ x ne 1 ∧ x ne 2

    Orbene, possiamo occuparci dei passaggi algebrici che consentono di semplificare l'espressione

    (2)/(5x^2-10x)-(2)/(5x^2-15x+10)+(1)/(x^2+x-6) =

    Sostituiamo i polinomi con le rispettive scomposizioni

    = (2)/(5x(x-2))-(2)/(5(x-2)(x-1))+(1)/((x+3)(x-2)) =

    ed esprimiamo le frazioni a denominatore comune

    = (2(x-1)(x+3)-2x(x+3)+5x(x-1))/(5x(x-2)(x-1)(x+3)) =

    Sviluppiamo i prodotti tra i polinomi al numeratore

     = (2(x^2+2x-3)-2x^2-6x+5x^2-5x)/(5x(x-2)(x-1)(x+3)) = (2x^2+4x-6-2x^2-6x+5x^2-5x)/(5x(x-2)(x-1)(x+3)) =

    e sommiamo tra loro i monomi simili

    = (5x^2-7x-6)/(5x(x-2)(x-1)(x+3))

    Scomponiamo il polinomio al numeratore con la regola del trinomio notevole con coefficiente diverso da 1. In questa circostanza, ricerchiamo due numeri interi A e B la cui somma coincide con il coefficiente di x e il cui prodotto è uguale a quello tra il coefficiente di x^2 e il termine noto:

    A+B = -7 e A·B = -30

    I numeri richiesti sono A = 3 e B = -10 e consentono di riscrivere il trinomio nella seguente maniera:

    5x^2-7x-6 = 5x^2+(3-10)x-6 =

    Distribuiamo x a ciascun addendo nella parentesi

    = 5x^2+3x-10x-6 =

    e sfruttiamo la tecnica del raccoglimento parziale: mettiamo in evidenza x tra i primi due addendi e -2 dagli ultimi due

    = x(5x+3)-2(5x+3) =

    dopodiché raccogliamo il fattore comune 5x+3

    = (x-2)(5x+3)

    Ritorniamo all'espressione

    (5x^2-7x-6)/(5x(x-2)(x-1)(x+3)) =

    rimpiazziamo il numeratore con la sua scomposizione

    = ((x-2)(5x+3))/(5x(x-2)(x-1)(x+3)) =

    semplifichiamo x-2 e infine scriviamo il risultato

    = (5x+3)/(5x(x-1)(x+3))

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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