Soluzioni
  • Per poter semplificare l'espressione con le frazioni algebriche

    \frac{2}{5x^2-10x}-\frac{2}{5x^2-15x+10}+\frac{1}{x^2+x-6}

    bisogna prima di tutto scomporre i polinomi usando le opportune tecniche di fattorizzazione. Occupiamoci di 5x^2-10x il quale è un binomio che può essere decomposto con la tecnica del raccoglimento totale: ciascun termine è divisibile per 5x.

    5x^2-10x=5x(x-2)

    Per quanto concerne la scomposizione del polinomio

    5x^2-15x+10=

    mettiamo in evidenza 5

    =5(x^2-3x+2)

    e fattorizziamo il polinomio tra parentesi tonde con la regola sul trinomio notevole che consiste nel ricercare due numeri interi A\ \mbox{e} \ B, il cui prodotto coincide con il coefficiente di x, \ (-3) e il cui prodotto è uguale al termine noto (2).

    In termini espliciti A\ \mbox{e} \ B devono soddisfare le seguenti relazioni

    A+B=-3 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ A\cdot B=2

    da cui segue che A=-1\ \mbox{e} \ B=-2.

    In accordo con la regola sul trinomio notevole, possiamo scrivere:

    5(x^2-3x+2)=5(x+A)(x+B)=5(x-1)(x-2)

    Con la medesima tecnica, siamo in grado di scomporre anche il terzo polinomio a denominatore come segue:

    x^2+x-6=(x-2)(x+3)

    Note le scomposizioni dei denominatori, possiamo imporre le condizioni di esistenza: basta richiedere che ciascun fattore delle scomposizioni sia diverso da zero!

    Per garantire la non nullità del denominatore 5x^2-10x richiederemo che:

    x\ne 0 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ (x-2)\ne 0

    ossia

    x\ne 0 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ x\ne 2

    Per garantire la non nullità di 5x^2-15x+10 richiederemo che siano non nulli i fattori della sua scomposizione

    (x-1)\ne 0 \ \ \ \mbox{e}\ \ \  (x-2)\ne 0

    da cui

    x\ne 1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ x\ne 2

    Per fare in modo che il polinomio x^2+x-6 imponiamo le seguenti condizioni

    (x-2)\ne 0 \ \ \ \wedge \ \ \ (x+3)\ne 0

    dalle quali si ricavano

    x\ne 2 \ \ \ \wedge \ \ \ x\ne -3

    Alla luce delle considerazioni precedenti, le condizioni di esistenza associate all'espressione sono:

    C.E.: \ x\ne -3 \ \ \wedge \ \ x\ne 0 \ \ \wedge \ \ x\ne 1 \ \ \wedge \ \ x\ne 2

    Orbene, possiamo occuparci dei passaggi algebrici che consentono di semplificare l'espressione

    \frac{2}{5x^2-10x}-\frac{2}{5x^2-15x+10}+\frac{1}{x^2+x-6}=

    Sostituiamo i polinomi con le rispettive scomposizioni

    =\frac{2}{5x(x-2)}-\frac{2}{5(x-2)(x-1)}+\frac{1}{(x+3)(x-2)}=

    ed esprimiamo le frazioni a denominatore comune

    =\frac{2(x-1)(x+3)-2x(x+3)+5x(x-1)}{5x(x-2)(x-1)(x+3)}=

    Sviluppiamo i prodotti tra i polinomi al numeratore

    \\ =\frac{2(x^2+2x-3)-2x^2-6x+5x^2-5x}{5x(x-2)(x-1)(x+3)}= \\ \\ \\ =\frac{2x^2+4x-6-2x^2-6x+5x^2-5x}{5x(x-2)(x-1)(x+3)}=

    e sommiamo tra loro i monomi simili

    =\frac{5x^2-7x-6}{5x(x-2)(x-1)(x+3)}

    Scomponiamo il polinomio al numeratore con la regola del trinomio notevole con coefficiente diverso da 1. In questa circostanza, ricerchiamo due numeri interi A\ \mbox{e} \ B la cui somma coincide con il coefficiente di x e il cui prodotto è uguale a quello tra il coefficiente di x^2 e il termine noto:

    A+B=-7 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ A\cdot B=-30

    I numeri richiesti sono A=3 \ \mbox{e} \ B=-10 e consentono di riscrivere il trinomio nella seguente maniera:

    5x^2-7x-6=5x^2+(3-10)x-6=

    Distribuiamo x a ciascun addendo nella parentesi

    =5x^2+3x-10x-6=

    e sfruttiamo la tecnica del raccoglimento parziale: mettiamo in evidenza x tra i primi due addendi e -2 dagli ultimi due

    =x(5x+3)-2(5x+3)=

    dopodiché raccogliamo il fattore comune 5x+3

    =(x-2)(5x+3)

    Ritorniamo all'espressione

    \frac{5x^2-7x-6}{5x(x-2)(x-1)(x+3)}=

    rimpiazziamo il numeratore con la sua scomposizione

    =\frac{(x-2)(5x+3)}{5x(x-2)(x-1)(x+3)}=

    semplifichiamo x-2 e infine scriviamo il risultato

    =\frac{5x+3}{5x(x-1)(x+3)}

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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