Calcolare la somma di due frazioni algebriche

Per poter semplificare l'espressione con le frazioni algebriche

bisogna prima di tutto scomporre i polinomi usando le opportune tecniche di fattorizzazione. Occupiamoci di il quale è un binomio che può essere decomposto con la tecnica del raccoglimento totale: ciascun termine è divisibile per .

Per quanto concerne la scomposizione del polinomio

mettiamo in evidenza 5

e fattorizziamo il polinomio tra parentesi tonde con la regola sul trinomio notevole che consiste nel ricercare due numeri interi , il cui prodotto coincide con il coefficiente di e il cui prodotto è uguale al termine noto .

In termini espliciti devono soddisfare le seguenti relazioni

da cui segue che .

In accordo con la regola sul trinomio notevole, possiamo scrivere:

Con la medesima tecnica, siamo in grado di scomporre anche il terzo polinomio a denominatore come segue:

Note le scomposizioni dei denominatori, possiamo imporre le condizioni di esistenza: basta richiedere che ciascun fattore delle scomposizioni sia diverso da zero!

Per garantire la non nullità del denominatore richiederemo che:

ossia

Per garantire la non nullità di richiederemo che siano non nulli i fattori della sua scomposizione

da cui

Per fare in modo che il polinomio imponiamo le seguenti condizioni

dalle quali si ricavano

Alla luce delle considerazioni precedenti, le condizioni di esistenza associate all'espressione sono:

Orbene, possiamo occuparci dei passaggi algebrici che consentono di semplificare l'espressione

Sostituiamo i polinomi con le rispettive scomposizioni

ed esprimiamo le frazioni a denominatore comune

Sviluppiamo i prodotti tra i polinomi al numeratore

e sommiamo tra loro i monomi simili

Scomponiamo il polinomio al numeratore con la regola del trinomio notevole con coefficiente diverso da 1. In questa circostanza, ricerchiamo due numeri interi la cui somma coincide con il coefficiente di e il cui prodotto è uguale a quello tra il coefficiente di e il termine noto:

I numeri richiesti sono e consentono di riscrivere il trinomio nella seguente maniera:

Distribuiamo a ciascun addendo nella parentesi

e sfruttiamo la tecnica del raccoglimento parziale: mettiamo in evidenza tra i primi due addendi e dagli ultimi due

dopodiché raccogliamo il fattore comune

Ritorniamo all'espressione

rimpiazziamo il numeratore con la sua scomposizione

semplifichiamo e infine scriviamo il risultato

Ecco fatto!