Equazione trigonometria con cotangente, seno e coseno

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Non sono in grado di risolvere un'equazione goniometrica fratta con la cotangente, il seno e il coseno. Ho tentato diversi approcci però ottengo più soluzioni rispetto a quelli proposti dal libro.

 

Risolvere la seguente equazione goniometrica

 

1+(sin(x))/(cot(x)) = cos(x)

 

Grazie.

Domanda di Senialf

 
Soluzioni

  • Per risolvere l'equazione goniometrica fratta

    1+(sin(x))/(cot(x)) = cos(x)

    è necessario impostare prima di tutto le condizioni di esistenza: richiederemo che il denominatore che contiene l'incognita sia diverso da zero. Imponiamo quindi la seguente relazione

    cot(x) ne 0

    e ricordiamo che la cotangente è diversa da zero se il suo argomento è diverso da (π)/(2)+kπ

    x ne(π)/(2)+kπ con k∈Z

    Inoltre dobbiamo escludere i valori per i quali la stessa cotangente perde di significato:

    x ne kπ con k∈Z

    In definitiva, l'equazione è ben posta nel momento in cui sussisto le condizioni

    C.E.: x ne(π)/(2)+kπ ∧ x ne kπ

    dove k è un qualsiasi numero intero e ∧ è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "e".

    Una volta determinate le condizioni di esistenza, possiamo procedere con i passaggi algebrici: ci proponiamo come obiettivo quello di esprimere l'equazione in termini di seno e coseno. Per raggiungerlo sostituiamo al posto della cotangente, la sua definizione

    cot(x) = (cos(x))/(sin(x)) per ogni x ne kπ

    così che l'equazione diventi

    1+(sin(x))/((cos(x))/(sin(x))) = cos(x)

    da cui, esprimendo la frazione di frazioni in forma normale

    1+(sin^2(x))/(cos(x)) = cos(x)

    Moltiplichiamo i due membri per cos(x)

    cos(x)+sin^2(x) = cos^2(x)

    e sfruttiamo l'identità fondamentale della trigonometria, grazie alla quale siamo in grado di esprimere il quadrato del seno come differenza tra 1 e il coseno al quadrato

    sin^2(x) = 1-cos^2(x) per ogni x∈R

    Grazie a tale identità l'equazione diventa

    cos(x)+1-cos^2(x) = cos^2(x)

    vale a dire

    2cos^2(x)-cos(x)-1 = 0

    Ci siamo ricondotti a un'equazione goniometrica di secondo grado espressa in termini di coseno: per risolverla operiamo la sostituzione

    y = cos(x)

    mediante la quale otteniamo la relazione

    2y^2-y-1 = 0

    Essa è un'equazione di secondo grado in y con coefficienti

    a = 2 , b = -1 , c = -1

    Per poter ricavare le soluzioni calcoliamo il discriminante associato con la formula

    Δ = b^2-4ac = (-1)^2-4·2·(-1) = 1+8 = 9

    pertanto i valori che soddisfano l'equazione sono:

    y_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = (-(-1)±√(9))/(4) = (1±3)/(4) = (1-3)/(4) = -(1)/(2) = y_1 ; (1+3)/(4) = 1 = y_2

    L'equazione in y è quindi soddisfatta dai valori

    y = -(1)/(2) , y = 1

    e poiché y = cos(x) le due relazioni precedenti si traducono in due equazioni goniometriche elementari in coseno. In particolare, la relazione y = -(1)/(2) diventa

    cos(x) = -(1)/(2)

    che è soddisfatta per

    x = (2π)/(3)+2kπ ; x = (4π)/(3)+2kπ

    dove k∈Z.

    La relazione t = 1 conduce all'equazione

    cos(x) = 1 → x = 2kπ con k∈Z

    La famiglia di soluzioni x = 2kπ non può essere soluzione dell'equazione di partenza perché viola la condizione di esistenza x ne kπ. Osserviamo infatti che x dev'essere diverso da qualsiasi multiplo intero di π (è la condizione x ne kπ) e al variare di k nell'insieme dei numeri interi, x = 2kπ è certamente un multiplo di π, ecco perché va escluso.

    In definitiva, le soluzioni dell'equazione

    1+(sin(x))/(cot(x)) = cos(x)

    sono

    x = (2π)/(3)+2kπ ; x = (4π)/(3)+2kπ

    dove k∈Z.

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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