Soluzioni
  • Ciao rori arrivo, dammi solo qualche secondo in più :P

    Risposta di Ifrit
  • Ok,

    Abbiamo l'equazione differenziale:

    y''(x)-8y'(x)+9y(x)=0

    è una equazione differenziale lineare del secondo ordine omogenea, associamo l'equazione caratteristica

    \lambda^2-8\lambda-9=0

    Calcoliamo il discriminante:

    \Delta= 64+36= 100\implies \sqrt{\Delta}= 10\textgreater 0

    Le soluzioni sono quindi:

    \lambda_1= \frac{8+10}{2}=9

    \lambda_2= \frac{8-10}{2}= -1

    L'equazione differenziale in questione avrà soluzione nella forma:

    y(x)= c_1 e^{\lambda_1x}+c_2 e^{\lambda_2 x}

    dove

    \lambda_1= 9\,\,\, \lambda_2= -1

    La funzione soluzione è quindi:

    y(x)= c_1 e^{9x}+c_2 e^{-x}

    Imponiamo le condizioni iniziali:

    y(0)=1\iff c_1+c_2= 1

    y'(0)= \alpha\iff 9c_1- c_2= \alpha

    Abbiamo quindi il sistema:

    \begin{cases}c_1+c_2=1\\ 9c_1-c_2= \alpha\end{cases}

    Le soluzioni sono 

    c_1= \frac{1+\alpha}{10}

    c_2= \frac{9-\alpha}{10}

    Sostituendo:

    y(x)= \left(\frac{1+\alpha}{10}e^{9x}+\frac{9-\alpha}{10}e^{-x}\right)

    Rimande da determinare

    \alpha

    di modo che:

    \lim_{x\to +\infty}y(x) 

    sia finito. 

    Osserva che la funzione è composta da due funzioni esponenziali, una che esplode a più infinito (quella che ha all'esponente 9) memtre l'altra che tende a zero quando x tende a più infinito. 

    Affinché il limite sia finito quindi dobbiamo annullare il  termine 

    \frac{1+\alpha}{10}e^{9x}

    e per farlo imponiamo:

    \frac{1+\alpha}{10}=0\iff \alpha=-1

    Risposta di Ifrit
 
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