Soluzioni
  • Ciao Michelle. :)

    Abbiamo la circonferenza di equazione

    x^2+y^2-8x-6y=0

    da cui possiamo subito ricavare le coordinate del centro (4,3)

    e la misura del raggio r=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5

    Poiché l'origine degli assi è un punto della circonferenza, possiamo determinare l'equazione della tangente t_1 imponendo che la distanza tra una generica retta per l'origine ed il centro della circonferenza sia uguale al raggio. Dal momento che una generica retta per l'origine ha equazione data da

    t_1: mx-y=0

    e il centro della circonferenza ha coordinate (4,3), utilizzando la formula della distanza punto retta abbiamo

    \frac{|4m-3|}{\sqrt{m^2+1}}=5 \iff |4m-3|=5\sqrt{m^2+1}

    Elevando ambo i membri al quadrato e svolgendo i conti ricadiamo in un'equazione di secondo grado

    -9m^2-24m-16=0 \iff 9m^2+24m+16=0

    che ha due soluzioni reali coincidenti

    m=-\frac{4}{3}

    La tangente t_1: mx-y=0 ha dunque equazione data da

    t_1: -\frac{4}{3}x-y=0

    che possiamo riscrivere come

    t_1: 4x+3y=0

    Per trovare le equazioni delle due tangenti t_1 \mbox{ e } t_2 condotte per il punto C(9,18) (esterno alla circonferenza) scriviamo l'equazione generica della retta per un punto

    y-y_C=m(x-x_C) \iff y=mx-9m+18

    ed intersechiamola con l'equazione della circonferenza

    \begin{cases}x^2+y^2-8x-6y=0 \\ y=mx-9m+18\end{cases}

    Procedendo con il metodo di sostituzione otteniamo l'equazione

    x^2+(mx-9m+18)^2-8x-6(mx-9m+18)=0

    (sviluppando il quadrato di trinomio e svolgendo i conti)

    (m^2+1)x^2+2(-9m^2+15m-4)x+81m^2-270m+216=0

    di cui, dobbiamo imporre che il discriminante sia nullo. Utilizzando la formula del delta quarti abbiamo

    \frac{\Delta}{4}=(-9m^2+15m-4)^2-(m^2+1)(81m^2-270m+216)=0 \iff m=\frac{4}{3}

    È venuto fuori un solo valore di m, mentre le tangenti dovrebbero essere due. Facendo una piccola rappresentazione grafica:

     

    Tre tangenti ad una circonferenza

     

    Possiamo osservare che la retta x=9 è l'altra tangente cercata che, in quanto parallela all'asse y, non esiste alcun valore di m che la possa individuare. Possiamo così concludere che le equazioni delle due tangenti alla circonferenza per il punto C(9,18) sono

    t_2: y=\frac{4}{3}x+6 \mbox{ e } t_3: \ x-9=0

    Per dedurre le proprietà del triangolo formato dalle tre tangenti calcoliamo le coordinate dei i tre punti di intersezione tra le tangenti (prese a due a due).

    A\left(-\frac{9}{4},3\right)

    è il punto di intersezione tra le rette t_1 \mbox{ e } t_2

    B(9,-12)

    è il punto di intersezione tra le rette t_1 \mbox{ e } t_3

    C(9,18)

    è il punto di intersezione tra le rette t_2 \mbox{ e } t_3

    Calcolando la distanza tra i punti A \mbox{ e } B otteniamo

    AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2-(y_A-y_B)^2}=\sqrt{\left(-\frac{9}{4}-9\right)^2+(3+12)^2}=\frac{25}{4}

    e, allo stesso modo

    AC=\sqrt{(x_A-x_C)^2-(y_A-y_C)^2}=\frac{25}{4}

    Mentre

    BC=|18+12|=30

    Possiamo così concludere che il triangolo ABC è un triangolo isoscele di base BC.

    Risposta di Galois
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