Problema su triangolo con rette tangenti

Abbiamo la circonferenza di equazione

da cui possiamo subito ricavare le coordinate del centro 

e la misura del raggio 

Poiché l'origine del piano cartesiano è un punto della circonferenza, possiamo determinare l'equazione della retta tangente imponendo che la distanza tra una generica retta per l'origine ed il centro della circonferenza sia uguale al raggio.

Dal momento che una generica retta per l'origine ha equazione data da

e il centro della circonferenza ha coordinate , utilizzando la formula della distanza punto retta abbiamo

Elevando ambo i membri al quadrato, e svolgendo i conti, ricadiamo in un'equazione di secondo grado

che ha due soluzioni reali coincidenti

La tangente ha dunque equazione data da

che possiamo riscrivere come

Per trovare le equazioni delle due tangenti condotte per il punto (esterno alla circonferenza) scriviamo l'equazione generica della retta per un punto

ed intersechiamola con l'equazione della circonferenza

Procedendo con il metodo di sostituzione otteniamo l'equazione

(sviluppando il quadrato di trinomio e svolgendo i conti)

di cui, dobbiamo imporre che il discriminante sia nullo. Utilizzando la formula del delta quarti abbiamo

Abbiamo ottenuto un solo valore di , mentre le tangenti dovrebbero essere due. Facendo una piccola rappresentazione grafica:

Possiamo osservare che la retta è l'altra tangente cercata che, in quanto parallela all'asse y, non esiste alcun valore di che la possa individuare. Possiamo così concludere che le equazioni delle due tangenti alla circonferenza per il punto sono

Per dedurre le proprietà del triangolo formato dalle tre tangenti calcoliamo le coordinate dei i tre punti di intersezione tra le tangenti (prese a due a due).

è il punto di intersezione tra le rette

è il punto di intersezione tra le rette

è il punto di intersezione tra le rette

Calcolando la distanza tra i punti otteniamo

e, allo stesso modo

Mentre

Possiamo così concludere che il triangolo è un triangolo isoscele di base .