Soluzioni
  • Ciao Satiro, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Il limite che prendiamo come riferimento è questo qui

    \lim_{x\to 1^{-}}{\frac{\arccos^2{(x)}}{1-x}}

    e si decide di procedere al calcolo del limite mediante sostituzione, ponendo

    t=\arccos{(x)}

    per cui x=\cos{(t)}

    quando effettui una sostituzione in un limite non bisogna solamente preoccuparsi di come cambia l'espressione analitica della funzione, ma anche di come cambia la variabile. Non avrebbe senso scrivere

    \lim_{x\to 1^{-}}{\frac{t^2}{1-\cos{(t)}}}

    dobbiamo, cioè, capire a che valore tende t alla luce della sostituzione effettuata.

    Questo valore lo deduciamo dalla trasformazione stessa: basta osservare che

    \lim_{x\to 1^-}{\arccos{(x)}}=0^{+}

    cioè t\to 0^{+} quando x\to 1^{-}.

    Il limite nella nuova variabile t è quindi

    \lim_{t\to 0^{+}}{\frac{t^2}{1-\cos{(t)}}}

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • mmmm allora devo fare una confessione,non capisco bene nemmeno come fai a dire che per x che tende a 1meno,arcosx=0più,cioè io posso arrivare fino al punto in cui scopro che cos0=1 XD ma sinceramente non saprei fare cos0più,il che è imbarazzante ma se riesci a spiegarmelo te ne sarei grato XD grazie

    Risposta di Satiro
  • Certo che te lo spiego, ma non disperare: sei ad un passo dalla soluzione Wink

    Se sai che \cos{(0)}=1, segue automaticamente che \arccos{(1)}=0, dacché l'arcocoseno è la funzione inversa della funzione coseno.

    Al tendere di x\to 1^{-} (ipotesi) segue quindi che

    t=\arccos{(x)}\to 0^{+}

    che ne dici?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Mmm ok, ma quindi com'è cioè se faccio cos(0 meno) diventava (1 più) e viceversa?

    Cioè + che altro è quello perchè poi nell'esercizio si vede che 1-cos(t) è asintotico a (1/2)t^2 e via via si arriva al limite che è 2, ma le operazioni con limiti destro e sinistro non le so fare sinceramente... :|

    Risposta di Satiro
  • No: \cos{(0^{-})} è 1^{-}, il coseno non assume mai valori più grandi di 1, e in ogni caso è una funzione pari, quindi simmetrica rispetto all'asse delle ordinate...

    Per quanto riguarda il discorso "limiti con più e meno", dai un'occhiata qui: infiniti e infinitesimi.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Grazie anche se non trovo l'algebra relativa ai limiti destro e sinistro delle funzioni trigonometriche :(

    Risposta di Satiro
  • Lì viene spiegato come lavorare con infiniti e infinitesimi in generale: per il resto, quei ragionamenti si applicano a tutte le funzioni, che siano trigonometriche, logaritmiche, esponenziali...

    Penso che tu non stia vedendo la cosa nell'ottica giusta, il che non è un problema perché lo risolveremo Wink

    Quando ragioni nell'intorno sinistro o destro di un punto, e vuoi valutare una funzione (qualunque essa sia) in un tale intorno devi tenere presente, oltre al valore della funzione nel punto, anche del comportamento della funzione "in prossimità" del punto stesso.

    Qui siamo in chiusura, eventualmente ci vediamo sul Forum

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Per chi fosse interessato, la discussione è proseguita qui: limiti da destra, sinistra e funzioni trigonometriche.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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