Cambio di variabile del limite
Ciao! Avrei un esercizio che non riesco a capire sul cambio di variabile nei limiti...cioè un pezzo non riesco a capire. Il testo riporta:
.
Bisogna calcolare il limite. A questo punto pone arccos(x)=t e quindi x=cos(t) e al posto di x->1^(-) mette t->0^(+).
Non ho capito questo, cioè perchè mette t->0^(+), prima aveva fatto un esempio dove mostrava x->1^(+) che diventava x-1->0^(+) con x-1=t.
Grazie.
Ciao Satiro, arrivo a risponderti...
Il limite che prendiamo come riferimento è questo qui
e si decide di procedere al calcolo del limite mediante sostituzione, ponendo
per cui
quando effettui una sostituzione in un limite non bisogna solamente preoccuparsi di come cambia l'espressione analitica della funzione, ma anche di come cambia la variabile. Non avrebbe senso scrivere
dobbiamo, cioè, capire a che valore tende
alla luce della sostituzione effettuata.Questo valore lo deduciamo dalla trasformazione stessa: basta osservare che
cioè
quando 
.Il limite nella nuova variabile
è quindi
Namasté!
mmmm allora devo fare una confessione,non capisco bene nemmeno come fai a dire che per x che tende a 1meno,arcosx=0più,cioè io posso arrivare fino al punto in cui scopro che cos0=1 XD ma sinceramente non saprei fare cos0più,il che è imbarazzante ma se riesci a spiegarmelo te ne sarei grato XD grazie
Certo che te lo spiego, ma non disperare: sei ad un passo dalla soluzione
Se sai che
, segue automaticamente che 
, dacché l'arcocoseno è la funzione inversa della funzione coseno.Al tendere di
(ipotesi) segue quindi che
che ne dici?
Namasté!
Mmm ok, ma quindi com'è cioè se faccio cos(0 meno) diventava (1 più) e viceversa?
Cioè + che altro è quello perchè poi nell'esercizio si vede che 1-cos(t) è asintotico a (1/2)t^2 e via via si arriva al limite che è 2, ma le operazioni con limiti destro e sinistro non le so fare sinceramente... :|
No:
è 
, il coseno non assume mai valori più grandi di 
, e in ogni caso è una funzione pari, quindi simmetrica rispetto all'asse delle ordinate...Per quanto riguarda il discorso "limiti con più e meno", dai un'occhiata qui: infiniti e infinitesimi.
Namasté!
Grazie anche se non trovo l'algebra relativa ai limiti destro e sinistro delle funzioni trigonometriche :(
Lì viene spiegato come lavorare con infiniti e infinitesimi in generale: per il resto, quei ragionamenti si applicano a tutte le funzioni, che siano trigonometriche, logaritmiche, esponenziali...
Penso che tu non stia vedendo la cosa nell'ottica giusta, il che non è un problema perché lo risolveremo
Quando ragioni nell'intorno sinistro o destro di un punto, e vuoi valutare una funzione (qualunque essa sia) in un tale intorno devi tenere presente, oltre al valore della funzione nel punto, anche del comportamento della funzione "in prossimità" del punto stesso.
Qui siamo in chiusura, eventualmente ci vediamo sul Forum
Namasté!
Per chi fosse interessato, la discussione è proseguita qui: limiti da destra, sinistra e funzioni trigonometriche.
Namasté!
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