Frazione algebrica con numeri decimali

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Non ho proprio idea di come si possa semplificare una frazione algebrica a coefficienti decimali. Da un esempio svolto sul libro, mi pare di capire che bisogna trasformare i coefficienti decimali in frazioni generatrici, però non ricordo come si fa!

 

Semplificare la seguente frazione algebrica a coefficienti decimali

 

(0,25x^2-1)/(0,5x^2-x)

 

Grazie.

Domanda di marcello

 
Soluzioni

  • Prima di semplificare la frazione algebrica

    (0,25x^2-1)/(0,5x^2-x)

    è necessario esprimere i numeri decimali nelle rispettive frazioni generatrici mediante la seguente procedura. Bisogna costruire una frazione che ha:

    - il numero decimale senza virgola al numeratore;

    - un 1 seguito da tanti 0 quante sono le cifre dopo la virgola al denominatore.

    Infine, se possibile, riduciamo ai minimi termini la frazione ottenuta.

    Alla luce di questa considerazione, la frazione generatrice associata a 0,25 è (1)/(4), infatti:

    0,25 = (25)/(100) = (1)/(4)

    La frazione generatrice associata a 0,5 è (1)/(2), infatti

    0,5 = (5)/(10) = (1)/(2)

    A questo punto rimpiazziamo le frazioni al posto dei coefficienti decimali

    (0,25x^2-1)/(0,5x^2-x) = ((1)/(4)x^2-1)/((1)/(2)x^2-x) =

    Esprimiamo a denominatore comune sia il numeratore principale che il denominatore principale

    = ((x^2-4)/(4))/((x^2-2x)/(2)) =

    e riscriviamo la frazione di frazioni come prodotto tra il numeratore principale per il reciproco della frazione denominatore

    = (x^2-4)/(4)·(2)/(x^2-2x) = (x^2-4)/(2(x^2-2x))

    Ci siamo ricondotti a una nuova frazione algebrica a coefficienti interi, equivalente a quella iniziale!

    Continuiamo con lo svolgimento scomponendo i polinomi a numeratore e a denominatore come prodotto di fattori irriducibili.

    Il binomio x^2-4 si scompone con la tecnica relativa alla differenza di due quadrati

    x^2-4 = (x-2)(x+2)

    mentre il polinomio x^2-2x si fattorizza con la tecnica del raccoglimento totale: basta mettere in evidenza il fattore comune x:

    x^2-2x = x(x-2)

    Grazie alla scomposizione del polinomio a denominatore, siamo in grado di impostare le condizioni di esistenza per la frazione algebrica: richiederemo che ciascun fattore della fattorizzazione sia diverso da zero!

    C.E.: x ne 0 ∧ x-2 ne 0

    da cui

    C.E.: x ne 0 ∧ x ne 2

    dove ∧ indica il connettivo logico "e".

    Perfetto! Una volta ricavati i vincoli cui deve sottostare x affinché la frazione abbia senso, possiamo finalmente semplificarla.

    Rimpiazziamo al posto del numeratore e del denominatore le rispettive fattorizzazioni

    (x^2-4)/(2(x^2-2x)) = ((x+2)(x-2))/(2x(x-2)) =

    e infine semplifichiamo x-2

    = (x+2)/(2x)

    In definitiva

    (x^2-4)/(2(x^2-2x)) = (x+2)/(2x)

    a patto che x non violi i vincoli:

    x ne 0 ∧ x ne 2

    Abbiamo terminato.

    Risposta di Ifrit
 
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