Soluzioni
  • È fondamentale conoscere la definizione di primitiva per affrontare in modo corretto l'esercizio. In modo succinto:

    Consideriamo una funzione f(x) definita in un intervallo I. Si definisce primitiva di f(x) una funzione derivabile F(x) definita su I e tale per cui risulti

    F'(x)=f(x)\mbox{ per ogni }x\in I

    Per la spiegazione dettagliata: integrali indefiniti e primitive di una funzione.

    Vediamo un esempio semplice.

    Una primitiva di 1 è x perché se deriviamo x otteniamo effettivamente 1 (vedi derivata di x). Un'altra primitiva di 1 è ad esempio x+5, perché se deriviamo quest'ultima ottieniamo nuovamente 1.

    Facciamo un salto di qualita. Sia c una costante reale allora x+c è ancora una primitiva di 1, infatti se deriviamo x+c otteniamo ancora 1.

    Al variare di c otteniamo la famiglia di tutte le primitive di 1. Questa famiglia viene indicata con un simbolo detto integrale indefinito

    \int 1 dx=x+c

    L'integrale di 1 è quindi la famiglia di tutte le primitive di 1.

    In generale, l'integrale indefinito di una funzione individua la famiglia delle primitive di tale funzione

    \int f(x)dx=\mbox{ tutte le primitive di }f(x)

    ***

    Adesso veniamo al problema. In questo caso dobbiamo determinare la famiglia delle primitive della funzione 

    f(x)=e^{\sqrt{x}}

    ossia dobbiamo calcolare l'integrale

    \int e^{\sqrt{x}}dx

    così da avere la famiglia delle primitive... Ma dobbiamo davvero calcolare l'integrale?

    La risposta in realtà è no. Per studiare concavità e convessità della famiglia di primitive dovremmo derivare due volte il risultato dell'integrale. Facciamoci furbi: sappiamo che derivando una primitiva della funzione otteniamo la funzione stessa, proprio per definizione di primitiva!

    La derivata prima di F_c(x)=\int e^{\sqrt{x}}dx è

    F_c'(x)=f(x)=e^{\sqrt{x}}

    Per studiare la concavità abbiamo bisogno della derivata seconda di F_c(x) che corrisponde alla derivata prima della funzione integranda, e che possiamo ottenere usando la regola per la derivata di una funzione composta

    F_{c}''(x)=f'(x)=\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}

    Osserviamo che la derivata seconda è sempre positiva perché quoziente di funzioni positive, e in quanto tale ogni primitiva di f(x)=e^{\sqrt{x}} è una funzione convessa.

    L'esercizio è concluso.

     

    Per completezza riporto anche il calcolo della famiglia delle primitive della funzione f(x)=e^{\sqrt{x}}, ossia calcoliamo

    \int e^{\sqrt{x}}dx=(\bullet)

    Procediamo integrando per sostituzione, ponendo

    t=\sqrt{x}\implies t^2=x\implies 2t dt=dx

    e riscriviamo l'integrale come

    (\bullet)=\int e^{t}\cdot 2t dt=

    Portiamo fuori la costante moltiplicativa

    =2\int t e^{t}dt=(\bullet \bullet)

    e continuiamo integrando per parti prendendo come fattore finito

    f(t)=t\implies f'(t)=1

    e come fattore differenziale

    g'(t)=e^{t}\implies g(t)=e^{t}

    Per la formula di integrazione per parti otterremo che

    (\bullet \bullet)=2\left(te^{t}-\int e^{t}dt\right)=

    dove quello rimasto è un integrale notevole

    =2\left(t e^{t}-e^{t}\right)+c=

    Osserviamo ora che possiamo raccogliere totalmente e^{t} così da avere

    =2e^{t}(t-1)+c=

    Non ci resta che ripristinare la variabile x tenendo a mente la sostituzione t=\sqrt{x}:

    =2e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1)+c

    Ora l'esercizio è completato.

    Risposta di Ifrit
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