Soluzioni
  • Consideriamo il limite

    \lim_{x\to0}\frac{2+\sin(x)-2(1+x)^{\frac{1}{2}}}{e^{x}-1-x}

    Esso genera una forma indeterminata del tipo \left[\frac{0}{0}\right] che possiamo sciogliere mediante gli sviluppi notevoli di Taylor - Mc Laurin.

    È sufficiente sviluppare almeno fino al secondo ordine, perché se ci fermassimo al primo non potremmo ottenere le informazioni sufficienti per risolvere la forma di indecisione.

    Lo sviluppo notevole della funzione seno al secondo ordine è

    \sin(x)=x+o(x^2)

    mentre quello della radice è

    \sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+o(x^2)

    e quello della funzione esponenziale è

    e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)

    Grazie alle proprietà degli o-piccolo, possiamo scrivere l'espansione del numeratore

    \\ 2+\sin(x)-2\sqrt{1+x}=2+x-2-x+\frac{x^2}{4}+o(x^2)= \\ \\ \\ =\frac{x^2}{4}+o(x^2)

    Per quanto concerne il denominatore, otteniamo invece

    e^{x}-1-x=\frac{x^2}{2}+o(x^2)

    Abbiamo a disposizione tutti gli strumenti per risolvere la forma indeterminata: è sufficiente sostituire al numeratore e al denominatore il proprio sviluppo

    \\ \lim_{x\to0}\frac{2+\sin(x)-2(1+x)^{\frac{1}{2}}}{e^{x}-1-x}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^2}{4}+o(x^2)}{\frac{x^2}{2}+o(x^2)}=

    Raccogliamo x^2

    =\lim_{x\to0}\frac{x^2\left(\frac{1}{4}+o(1)\right)}{x^2\left(\frac{1}{2}+o(1)\right)}=

    e semplifichiamolo

    =\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{4}+o(1)}{\frac{1}{2}+o(1)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}

    Osserviamo che nell'ultimo passaggio abbiamo utilizzato la definizione di o-piccolo di 1 da cui discende che

    o(1)\to0 \ \ \ \mbox{per} \ x\to0

    e, in più, abbiamo espresso la frazione di frazioni in forma normale.

    Puoi approfondire leggendo la lezione dedicata alla risoluzione dei limiti con Taylor.

    Risposta di Ifrit
 
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